Предел функции

В этой статье введем определение предела, познакомимся с различными видами неопределенностей и способами их устранения. Рассмотрим также большое количество примеров с объяснениями.

Предел функции по Коши. Значение A называется пределом функции f(x) в точке x_0, если для любого наперед взятого положительного числа \varepsilon найдется отвечающее ему положительное число \delta = \delta (\varepsilon) такое, что для всех аргументов x, удовлетворяющих условию 0<|x-x_0|< \delta, выполнялось равенство |f(x)-A|< \varepsilon.

    \[\lim_{x\to x_0} f(x)=A \iff \forall \varepsilon >0 & \exists \delta = \delta (\varepsilon) >0 \forall x:  0<|x-x_0|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \varepsilon\]

Число x_0 из этого определения будем называть предельным значением x. Вычисление любого предела необходимо начинать с подстановки предельного значения в имеющееся выражение. При этом можно получить либо некоторое число (а также бесконечность), либо какую-то неопределенность. В случае получения числа или бесконечности сразу переходим к записи ответа — это самые простые задачи.

Примеры 1-5. Найти следующие пределы:

    \[\lim_{x\to 5} \left ( \frac{x^2 + x}{5} \right )\]

Решение:   Подставляем предельное значение x=5.

    \[\lim_{x\to 5} \left ( \frac{x^2 + x}{5} \right ) = \frac{5^2+5}{5} = \frac{25+5}{5} = 6\]

Ответ:   6

    \[\lim_{x\to 0} \left ( \frac{1}{x^2} \right )\]

Решение:   Подставляем предельное значение x=0.

    \[\lim_{x\to 0} \left ( \frac{1}{x^2} \right ) = \frac{1}{0} = \infty\]

Ответ:   \infty

    \[\lim_{x\to \infty} \left ( 1-x \right )\]

Решение:   Подставляем предельное значение x=\infty.

    \[\lim_{x\to \infty} \left ( 15-x \right ) = 15- \infty =- \infty\]

Ответ:   - \infty

    \[\lim_{x\to 0} \left ( \frac{x^4}{7} \right )\]

Решение:   Подставляем предельное значение x=0.

    \[\lim_{x\to 0} \left ( \frac{x^4}{7} \right ) = \frac{0}{7}=0\]

Ответ:   0

    \[\lim_{x\to \infty} {\left ( \frac{5}{2} \right )}^x\]

Решение:   Подставляем предельное значение x=\infty.

    \[\lim_{x\to \infty} {\left ( \frac{5}{2} \right )}^x = {\left ( \frac{5}{2} \right )}^{\infty}=\infty\]

Такой ответ получаем в связи с тем, что основание степени \frac{5}{2} больше единицы. Если бы основание было меньше единицы, например \frac{2}{5}, то предел бы равнялся нулю.

Ответ:   \infty

[свернуть]

Как видно, для решения этих пяти примеров нам не потребовалось применение каких-то особых приемов. Однако чаще всего так просто справиться с пределом не получится. Далее будет рассматривать случаи, когда при подстановке предельного значения x=x_0 получаются неопределенности вида \left ( \frac{0}{0} \right ), \left ( \frac{\infty}{\infty} \right ), \left ( \infty - \infty \right ).

Неопределенность вида   \frac{0}{0}

Чтобы раскрыть неопределенность \frac{0}{0} в алгебраическом выражении, надо в числителе и знаменателе выделить множитель x-x_0, который стремится к нулю, и на него под знаком предела сократить.

Очевидно, что если при подстановке в многочлен предельного значения x=x_0 этот многочлен обращается в 0, то x_0 является его корнем. А это значит, что данный многочлен без остатка можно разделить на x-x_0.

Пример 6. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 6}  \frac{2x^2-11x-6}{3x^2-19x+6}\]

Решение:   Подставляем предельное значение x=6.

    \[\lim_{x\to 6}  \frac{2x^2-11x-6}{3x^2-19x+6}  = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

Получили неопределенность вида \frac{0}{0}. Найдем корни многочленов из числителя и знаменателя (решаем два квадратных уравнения).

2x^2-11x-6=0

D=b^2-4ac=121+48=169

x_1 = \frac{11+13}{4} = 6;     x_2 = \frac{11-13}{4} = -\frac{1}{2}

3x^2-19x+6

D=b^2-4ac=361-72=289

x_1 = \frac{19+17}{6} = 6;     x_2 = \frac{19-17}{6} = \frac{1}{3}

Тогда данные многочлены будут разложены на множители следующим образом:

2x^2-11x-6 = 2(x-6)(x+ \frac{1}{2})   и   3x^2-19x+6=3(x-6)(x- \frac{1}{3}).

Переписываем предел, используя полученные разложения, и сокращаем числитель и знаменатель на x-6:

    \[\lim_{x\to 6}  \frac{ 2(x-6)(x+ \frac{1}{2})}{3(x-6)(x- \frac{1}{3})}  = \lim_{x\to 6}  \frac{ 2(x+ \frac{1}{2})}{3(x- \frac{1}{3})} = \lim_{x\to 6}  \frac{ 2x+1}{3x- 1}\]

Теперь снова подставляем предельное значение x=6:

    \[\lim_{x\to 6}  \frac{ 2x+1}{3x- 1} = \frac{2 \cdot 6 +1}{3 \cdot 6 -1} = \frac{13}{17}\]

Ответ:   \frac{13}{17}

[свернуть]

Пример 7. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 2}  \frac{x^3-8}{4-x^2}\]

Решение:   Подставляем предельное значение x=2.

    \[\lim_{x\to 2}  \frac{x^3-8}{4-x^2}  = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

Получили неопределенность вида \frac{0}{0}. Необходимо выделить из числителя и знаменателя множитель x-2. Для этого достаточно заметить, что числитель представляет собой разность кубов, а знаменатель — разность квадратов. То есть

x^3 -8= (x-2)(x^2+2x+4)   и   4-x^2=(2-x)(2+x).

Переписываем предел, используя полученные разложения, и сокращаем числитель и знаменатель на x-2:

    \[\lim_{x\to 2}  \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(2-x)(2+x)}  = \lim_{x\to 2}  \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(-2-x)} = \lim_{x\to 2}  \frac{x^2+2x+4}{-2-x}\]

Теперь снова подставляем предельное значение x=2:

    \[\lim_{x\to 2}  \frac{x^2+2x+4}{-2-x} = \frac{2^2+2 \cdot 2 +4}{-2-2} = \frac{12}{-4} = -3\]

Ответ:   -3

[свернуть]

Не всегда можно разложить на множители многочлен так, как это сделано в 6м и 7м примерах. Если он имеет степень больше двух (и сгруппировать не удаётся), следует разделить его столбиком на x-x_0. Это долго, но действенно — ответ гарантирован, главное не просчитаться 🙂

Пример 8. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 2}  \frac{x^3 -2x^2-x+2}{x^4-x^2-12}\]

Решение:   Подставляем предельное значение x=2.

    \[\lim_{x\to 2}  \frac{x^3 -2x^2-x+2}{x^4-x^2-12} = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

Получили неопределенность вида \frac{0}{0}. Разделим столбиком числитель и знаменатель на x-2:

Для предела столбиком

В обоих случаях остаток при делении равен нулю, всё хорошо (если остаток получился НЕ ноль, проверяйте решение, ищите ошибку!). Многочлены будут расписаны на множители следующим образом:

x^3-2x^2-x+2 = (x-2)(x^2-1)     и     x^4-x^2-12 = (x-2)(x^3+2x^2+3x+6).

Переписываем предел, используя полученные разложения, и сокращаем числитель и знаменатель на x-2:

    \[\lim_{x\to 2}  \frac{(x-2)(x^2-1)}{(x-2)(x^3+2x^2+3x+6)} =\lim_{x\to 2}  \frac{x^2-1}{x^3+2x^2+3x+6}\]

Теперь снова подставляем предельное значение x=2:

    \[\lim_{x\to 2}  \frac{x^2-1}{x^3+2x^2+3x+6} = \frac{2^2-1}{2^3+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2 +6} = \frac{4-1}{8+8+6+6} =  \frac{3}{28}\]

Ответ:   \frac{3}{28}

[свернуть]




Пример 9. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to -1}  \frac{x^3 +4x^2+5x+2}{x^3-3x-2}\]

Решение:   И вновь первым делом подставляем предельное значение x=-1

    \[\lim_{x\to -1}  \frac{x^3 +4x^2+5x+2}{x^3-3x-2} = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

Получили неопределенность вида \frac{0}{0}. Разделим столбиком числитель и знаменатель на x+1:

Для предела столбиком 2

Тогда многочлены будут разложены на множители так:

x^3+4x^2+5x+2 = (x+1)(x^2+3x+2)     и     x^3-3x-2 = (x+1)(x^2-x-2).

Переписываем предел с данными преобразованиями, производим сокращение и подставляем предельное значение x=-1:

    \[\lim_{x\to -1}  \frac{(x+1)(x^2+3x+2)}{(x+1)(x^2-x-2)} = \lim_{x\to -1}  \frac{x^2+3x+2}{x^2-x-2} = \frac{(-1)^2 +3 \cdot (-1) +2}{(-1)^2 - (-1) -2} = \frac{1-3+2}{1+1-2} = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

Получили ту же самую неопределенность. Поэтому опять выделяем из числителя и знаменателя множитель x+1 и производим на него сокращение. Для этого решаем два квадратных уравнения.

x^2+3x+2 = 0

D=b^2-4ac = 9-8=1

x_1 = \frac{-3-1}{2} = -2;     x_2 = \frac{-3+1}{2} = -1

x^2-x-2 = 0

D=b^2-4ac = 1+8=9

x_1 = \frac{1-3}{2} = -1;     x_2 = \frac{1+3}{2} = 2

Отсюда можем записать, что  x^2-x-2 = (x+1)(x-2),  а  x^2+3x+2 = (x+1)(x+2). Дальше работаем с пределом:

    \[\lim_{x\to -1}  \frac{x^2+3x+2}{x^2-x-2} = \lim_{x\to -1}  \frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-2)} = \lim_{x\to -1}  \frac{x+2}{x-2} = \frac{-1+2}{-1-2} = -\frac{1}{3}\]

Ответ:   -\frac{1}{3}

[свернуть]

В 9м примере оказалось недостаточным произвести одно сокращение. Так бывает в тех случаях, когда предельное значение x=x_0 является для многочленов корнем кратности больше единицы (в нашем случае  x=-1  имел кратность 2).

Пусть теперь вместо многочлена в числителе или знаменателе будет иррациональное выражение.

Если в числителе или знаменателе стоят иррациональные выражения, то для получения сомножителя  x-x_0  умножим числитель и знаменатель на сопряженные им выражения.

Пример 10. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 5}  \frac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}}\]

Решение:   Подставляем предельное значение  x=5.

    \[\lim_{x\to 5}  \frac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}} = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

Получили неопределенность вида \frac{0}{0}. И в числителе, и в знаменателе стоят иррациональные выражения, поэтому будем делить и умножать на сопряженное к каждому. При этом понятно, что если была сумма, то сопряженное — разность, и если была разность, то сопряженное — сумма. То есть сопряженное к числителю \sqrt{6-x}+1, к знаменателю 3+\sqrt{4+x}.

    \[\lim_{x\to 5}  \frac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}} = \lim_{x\to 5}  \frac{(\sqrt{6-x}-1)(\sqrt{6-x}+1)(3+\sqrt{4+x})}{(3-\sqrt{4+x})(\sqrt{6-x}+1)(3+\sqrt{4+x})} =\]

    \[=\lim_{x\to 5}  \frac{ \left (  {\left ( \sqrt{6-x}  \right ) }^2 -1^2 \right )  (3+\sqrt{4+x})}{(\sqrt{6-x}+1) \left (  3^2 - {\left ( \sqrt{4+x}  \right ) }^2  \right )} = \lim_{x\to 5}  \frac{(5-x)(3+\sqrt{4+x})}{(\sqrt{6-x}+1)(5-x)} = \lim_{x\to 5}  \frac{3+\sqrt{4+x}}{\sqrt{6-x}+1}\]

После умножения и деления на сопряженное, использовали формулу разности квадратов. Теперь осталось лишь еще раз подставить предельное значение  x=5:

    \[\lim_{x\to 5}  \frac{3+\sqrt{4+x}}{\sqrt{6-x}+1} = \frac{3+\sqrt{4+5}}{\sqrt{6-5}+1} = \frac{3+3}{1+1} = \frac{6}{2} = 3\]

Ответ:   3

[свернуть]

Пример 11. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to -5}  \frac{2x^2+11x+5}{3-\sqrt{14+x}}\]

Решение:   При подстановке предельного значения x=-5 получаем неопределенность  \frac{0}{0}. Здесь  в числителе алгебраическое выражение, а в знаменателе иррациональное. Поэтому для избавления от неопределенности следует выделить из числителя множитель x+5 и умножить и разделить на сопряженное к знаменателю.

Итак, разбиваем на множители числитель. Это квадратный многочлен, поэтому удобно будет просто решить квадратное уравнение.

2x^2+11x+5=0

D=b^2-4ac = 121 - 40= 81

x_1 = \frac{-11-9}{4} = -5;     x_2 = \frac{-11+9}{4} \ = -\frac{1}{2}

И, получаем,   2x^2+11x+5=2(x+5)(x+\frac{1}{2}) = (x+5)(2x+1).

    \[\lim_{x\to -5}  \frac{2x^2+11x+5}{3-\sqrt{14+x}} = \lim_{x\to -5}  \frac{(x+5)(2x+1)(3+\sqrt{14+x})}{(3-\sqrt{14+x})(3+\sqrt{14+x})} = \lim_{x\to -5}  \frac{(x+5)(2x+1)(3+\sqrt{14+x})}{3^2 - {\left ( \sqrt{14+x}  \right ) }^2} =\]

    \[\lim_{x\to -5}  \frac{(x+5)(2x+1)(3+\sqrt{14+x})}{9-14-x} = \lim_{x\to -5}  \frac{(x+5)(2x+1)(3+\sqrt{14+x})}{-(5+x)} =\]

    \[= \lim_{x\to -5}  \frac{(2x+1)(3+\sqrt{14+x})}{-1} = \lim_{x\to -5} (-2x-1)(3+\sqrt{14+x}) =\]

    \[ = (-2 \cdot (-5) -1)(3+\sqrt{14-5}) = (10-1)(3+3)= 54\]

Ответ:   54

[свернуть]

Неопределенность вида   \frac{\infty}{\infty}

Если при  x \to x_0  f(x) \to \infty  и  q(x) \to \infty,  то отношение  \frac{f(x)}{q(x)}  представляет собой неопределенность  \frac{\infty}{\infty}. В этом случае нужно числитель и знаменатель разделить почленно на старшую степень переменной x.

Пример 12. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to \infty}  \frac{4x-7-2x^3}{7x+x^3}\]

Решение:   При подстановке предельного значения x получаем неопределенность вида \frac{\infty}{\infty}. И в числителе, и в знаменателе старшая степень x равна 3, то есть будем делить на x^3

    \[\lim_{x\to \infty}  \frac{4x-7-2x^3}{7x+x^3}  = \lim_{x\to \infty}  \frac{\frac{4x-7-2x^3}{x^3}}{\frac{7x+x^3}{x^3}} = \lim_{x\to \infty}  \frac{\frac{4}{x^2} - \frac{7}{x^3} -2}{\frac{7}{x^2} +1} =\]

    \[= \frac{0-0-2}{0+1} = -2\]

Ответ:   -2

[свернуть]

Пример 13. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to \infty}  \frac{2x^2-3x+1}{3x^3+x^2+4x}\]

Решение:   При подстановке предельного значения x получаем неопределенность вида \frac{\infty}{\infty}. Определяем старшую степень x: в числителе 2, в знаменателе 3. Выбираем наибольшую, то есть делить будем на x^3.

    \[\lim_{x\to \infty}  \frac{2x^2-3x+1}{3x^3+x^2+4x} = \lim_{x\to \infty}  \frac{\frac{2x^2-3x+1}{x^3}}{\frac{3x^3+x^2+4x}{x^3}} = \lim_{x\to \infty}  \frac{\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}} =\]

    \[= \frac{0-0+0}{3+0+0} = \frac{0}{3} = 0\]

Ответ:   0

Вообще, можно для себя запомнить так: если старшая степень x в числителе больше старшей степени в знаменателе, то предел равен \infty (плюс или минус); если же старшая степень в числителе меньше, чем в знаменателе, то предел равен нулю.

[свернуть]

Пример 14. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to \infty}  \frac{(x+7)^3 - (x-1)^3}{(3x-1)^2 - (5x+1)^2} = \left (  \frac{\infty}{\infty} \right )\]

Решение:  Предельное значение уже подставлено, неопределенность есть. В этом примере нужен некоторый навык для того, чтобы сразу назвать старшую степень x. Мы, чтобы не ошибиться, раскроем скобки, пользуясь формулами куба суммы/разности 🙂

    \[\lim_{x\to \infty}  \frac{(x+7)^3 - (x-1)^3}{(3x-1)^2 - (5x+1)^2} = \lim_{x\to \infty}  \frac{(x^3+21x^2+147x + 343) - (x^3-3x^2+3x-1)}{(9x^2-6x+1) - (25x^2+10x+1)} =\]

    \[= \lim_{x\to \infty} \frac{24x^2+144x+344}{-16x^2-16x}\]

Теперь старшая степень видна хорошо, равна двум (и в числителе, и в знаменателе). Делим:

    \[= \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{24x^2+144x+344}{x^2}}{\frac{-16x^2-16x}{x^2}} = \lim_{x\to \infty} \frac{24+\frac{144}{x} + \frac{344}{x^2}}{-16- \frac{16}{x}} =\]

    \[= \frac{24+0+0}{-16-0} = -\frac{24}{16} = - \frac{3}{2}\]

Ответ:   -\frac{3}{2}

[свернуть]

Неопределенность вида  \infty - \infty

Если при  x \to x_0,  f(x) \to  + \infty  и  q(x) \to + \infty,  то разность  f(x)-q(x)  представляет собой неопределенность  \infty - \infty.  Чтобы раскрыть такую неопределенность, надо привести её к виду  \frac{0}{0}  или  \frac{\infty}{\infty}.

Сделать это можно разными способами. Действия будут зависеть от того, предел какого именно выражения нам необходимо найти. Например, если имеется разность двух иррациональных выражений, то стоит умножить и разделить на сопряженное.

Пример 15. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to + \infty}  \left (  \sqrt{4x-3} - \sqrt{2x+1} \right )\]

Решение:  При подстановке предельного значения x= + \infty получаем неопределенность вида \infty - \infty. Умножим и разделим на сопряженное выражение \left (  \sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1} \right ). Получим:

    \[\lim_{x\to + \infty}  \left (  \sqrt{4x-3} - \sqrt{2x+1} \right ) = \lim_{x\to + \infty} \frac{ \left (  \sqrt{4x-3} - \sqrt{2x+1} \right )  \left (  \sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1} \right )}{ \sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1}} =*\]

В числителе применяем формулу разности квадратов:

    \[*= \lim_{x\to + \infty} \frac{\left ( {\sqrt{4x-3} \right )}^2 - \left ( {\sqrt{2x+1} \right )}^2}{\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1}} = \lim_{x\to + \infty} \frac{2x-4}{\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1}} = \left ( \frac{\infty}{\infty} \right )\]

С этой неопределенностью мы уже работали. Делим числитель и знаменатель на старшую степень x. В числителе это один, в знаменателе \frac{1}{2}. Один больше одной второй, поэтому делим на x:

    \[\lim_{x\to + \infty} \frac{2x-4}{\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1}} = \lim_{x\to + \infty} \frac{\frac{2x-4}{x}}{\frac{\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1}}{x}} =\]

    \[= \lim_{x\to + \infty} \frac{2- \frac{4}{x}}{\frac{\sqrt{4x-3}}{x} + \frac{\sqrt{2x+1}}{x}}=  \lim_{x\to + \infty} \frac{2- \frac{4}{x}}{ \sqrt{ \frac{4x-3}{x^2} } + \sqrt{ \frac{2x+1}{x^2} }} =\]

    \[= \lim_{x\to + \infty} \frac{2- \frac{4}{x}}{ \sqrt{ \frac{4}{x} - \frac{3}{x^2} } + \sqrt{ \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} }} = \frac{2}{0} = \infty\]

Ответ:   \infty

[свернуть]

Иногда удобно будет применять такое преобразование:

    \[\lim_{x\to  x_0} \left (  f(x) - g(x) \right ) = \left (  \infty - \infty \right ) = \lim_{x \to x_0} \left (  \frac{1}{\frac{1}{f(x)}} - \frac{1}{\frac{1}{g(x)}} \right ) = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{g(x)} \cdot \frac{1}{f(x)}} = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

На этом всё. Удачи! 😉




Добавить комментарий