Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида \varphi(y)dy=f(x)dx называется уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение вида

\varphi_1(x)\psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\psi_2(y)dy,

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от y, называется уравнением с разделяющимися переменными.

 Путем деления на произведение \varphi_2(x)\psi_1(y) оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx=\frac{\psi_2(y)}{\psi_1(y)}dy.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

\int\frac{\varphi_1(x)}{\varphi_2(x)}dx-\int\frac{\psi_2(y)}{\psi_1(y)}dy=C.

Заметим, что деление на \varphi_2(x)\psi_1(y) может привести к потере частных решений, обращающих в ноль произведение \varphi_2(x)\psi_1(y).

Дифференциальное уравнение вида

\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c),

где a, b и c — постоянные, заменой переменных z=ax+by+c преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.         

Пример 1. Решить уравнение

(1+e^x)yy'=e^x

Решение:  Представим y' как \frac{dy}{dx} и перенесем dx в правую часть уравнения: (1+e^x)ydy=e^xdx. Теперь всё, что содержит x, переносим вправо (выражения, содержащие y, переносятся, соответственно, влево). Для этого достаточно разделить обе части уравнения на (1+e^x):

ydy=\frac{e^xdx}{1+e^x}

Проинтегрируем и найдем общий интеграл:

\int ydy=\int \frac{e^xdx}{1+e^x},   откуда    \frac{y^2}{2}=\ln(1+e^x)+C^*.

Всё, осталось только выразить y. Здесь это делается легко: достаточно умножить обе части уравнения на 2 и извлечь корень. Отметим, что удвоенную константу  2C^* заменяем на новую константу C, то есть 2C^*=C.

y=\pm \sqrt{2\ln(1+e^x)+C}

В процессе решение мы делили уравнение на выражение 1+e^x. Понятно, что не при каких значениях x оно не обращается в 0. Следовательно, при делении решения потеряны не были. Запишем ответ.

Ответ:    y=\pm \sqrt{2\ln(1+e^x)+C}

Пример 2. Решить уравнение

3e^x \operatorname{tg} y dx+\frac{2-e^x}{\cos^2y}dy=0

Решение: Разделим обе части уравнения на \operatorname{tg} y \cdot (2-e^x) и перенесем всё с y вправо:

\frac{3e^x}{2-e^x}dx=-\frac{dy}{\cos^2y \operatorname{tg} y}.

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрируем его:

\int\frac{3e^x}{2-e^x}dx=-\int\frac{dy}{\cos^2y \operatorname{tg} y};

-3\ln\left\vert 2-e^x \right\vert +\ln \left\vert \operatorname{tg} y \right\vert =C_1   или   \ln \left\vert \frac{\operatorname{tg} y}{(2-e^x)^3} \right\vert =C_1.

После потенцирования (операция, обратная логарифмированию) получим

\left\vert \frac{\operatorname{tg} y}{(2-e^x)^3} \right\vert= e^{C_1},   откуда   \frac{\operatorname{tg} y}{(2-e^x)^3} = \pm e^{C_1}.

Обозначая \pm e^{C_1}=C, будем иметь

\frac{\operatorname{tg} y}{(2-e^x)^3} = C   или   \operatorname{tg} y -C(2-e^x)^3=0.

Мы получили общий интеграл нашего уравнения.

При делении на произведение \operatorname{tg} y \cdot (2-e^x) предполагалось, что ни один из множителей не равен нулю. Приравняв каждый множитель к нулю, получим соответственно

y=k\pi (k=0, \pm1, \pm2, ...),   x=\ln 2.

Непосредственной подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что y=k\pi  и  x= \ln 2 являются решениями этого уравнения. Они могут быть формально получены из общего интеграла при C=0  и  C= \infty. Поэтому переходим к записи ответа.

Ответ:   \operatorname{tg} y -C(2-e^x)^3=0.

Добавить комментарий