Однородные уравнения

Функция f(x,y) называется однородной функцией своих аргументов измерения n, если справедливо тождество

f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Например, функция f(x,y)=x^2+y^2-xy есть однородная функция второго измерения, так как

f(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

 При n=0 имеем функцию нулевого измерения. Например, f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} есть однородная функция нулевого измерения. Убедимся в этом:

f(tx,ty)=\frac{(tx)^2-(ty)^2}{(tx)^2+(ty)^2}=\frac{t^2(x^2-y^2)}{t^2(x^2+y^2)}=f(x,y).

Дифференциальное уравнение вида \frac{dy}{dx}=f(x,y) называется однородным относительно x и y, если f(x,y) есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде

 \frac{dy}{dx}= \varphi \left ( \frac{y}{x} \right ).

Вводя новую искомую функцию u=\frac{y}{x}, это уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными:

x \frac{du}{dx}= \varphi(u)-u.

Если u=u_0 есть корень уравнения \varphi(u)-u=0, то решение однородного уравнения будет u=u_0 или y=u_0x (прямая, проходящая через начало координат).

Замечание: При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду \frac{dy}{dx}= \varphi \left ( \frac{y}{x} \right ). Можно сразу делать подстановку y=ux.

 Пример 1. Решить уравнение

xy'= \sqrt{x^2-y^2}+y

Решение: запишем уравнение в виде

y'= \sqrt{1-  \left ( \frac{y}{x} \right )^2}+ \frac{y}{x}  ,

так что данное уравнение оказывается однородным относительно x и y. Положим u=\frac{y}{x} или y=ux. Тогда y'=xu'+u. Подставляя в уравнение выражения для y и y', получаем

x\frac{du}{dx}=\sqrt{1-u^2}.

Разделим переменные (все выражения, содержащие x, перенесем в правую часть, а содержащие y — в левую):

\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{dx}{x},

отсюда интегрированием находим

\arcsin {u}=\ln{|x|}+\ln{C_1} (C_1>0) или \arcsin {u}=\ln{C_1|x|}.

Так как C_1|x|=\pm C_1x, то, обозначая \pm C_1=C, получаем \arcsin{u}=\ln{Cx}, где |\ln}{Cx}|\leqslant \frac{\pi}{2} или e^{-\pi /2} \leqslant Cx \leqslant e^{\pi /2}. Заменяя u на \frac{y}{x}, будем иметь общий интеграл

\arcsin{\frac{y}{x}}=\ln{Cx}.

Отсюда общее решение: y=x\sin{(\ln{Cx})}.

 При разделении переменных мы делили обе части уравнения на произведение x \sqrt{1-u^2}, поэтому могли потерять решения, которые обращают в ноль этой произведение.

Положим теперь x=0 и \sqrt{1-u^2}=0. Но x \ne 0 в силу подстановки u= \frac{y}{x},а из соотношения  \sqrt{1-u^2}=0 получаем, что 1- \frac{y^2}{x^2}=0, откуда y= \pm x. Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция y=-x и y=x также являются решениями данного уравнения.

Ответ: y=x\sin{(\ln{Cx})} и y= \pm x.

 

Добавить комментарий