Линейные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),

где p(x) и q(x) — заданные функции от x, непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение.

Если q(x) \equiv 0, то данное уравнение называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

y=Ce^{- \int p(x)dx}.

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение линейного уравнения ищется в виде

y=C(x)e^{- \int p(x)dx},     где C(x) — новая неизвестная функция от x.

Также, линейное уравнение может быть проинтегрировано следующим образом. Полагаем y=u(x)v(x), где u(x) и v(x) -неизвестные функции от x, одна из которых, например v(x), может быть выбрана произвольно. Подставляя данное выражение в исходное уравнение, получаем

vu'+(pv+v')u = q(x).             (*)

Определяя v(x) из условия v'+pv=0, найдем затем из (*) функцию u(x),а, следовательно, и решение y=uv линейного уравнения. В качестве v(x) можно взять любое частное решение уравнения  v'+pv=0,  v \not\equiv 0.

Пример 1. Решить уравнение

y'+2xy=2xe^{-x^2}

Решение: Перед нами линейное неоднородное уравнение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Рассмотрим однородное уравнение

y'+2xy=0,

соответствующее данному неоднородному. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид

y=Ce^{-x^2}.

 Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде

y=C(x)e^{-x^2},     где C(x) — новая неизвестная функция от x.

Это выражение нужно подставить в исходное уравнение. В нем есть y', поэтому найдем производную:

 y'=C'(x)e^{-x^2}-2xC(x)e^{-x^2}.

Тогда при подстановке получаем

 C'(x)e^{-x^2}-2xC(x)e^{-x^2}+2xC(x)e^{-x^2}=2xe^{-x^2}   или   C'(x)=2x,

откуда C(x)= \int 2xdx=x^2+C.

Заметим, что при подстановке -2xC(x)e^{-x^2}   и   2xC(x)e^{-x^2} сокращаются, если в процессе решения у Вас не выходит сокращения, то перепроверьте своё решение.

Итак, общее решение неоднородного уравнения будет  y=(x^2+C)e^{-x^2},    где C — постоянная интегрирования.

Ответ:   y=(x^2+C)e^{-x^2}.

Теперь попробуем рассмотреть пример, решенный другим способом.

Пример 2. Решить уравнение

x(x-1)y'+y=x^2(2x-1)

Решение: Ищем общее решение уравнения в виде  y=u(x)v(x) ; имеем  y'=u'v+uv'.

Подставляя выражение для y и y' в исходное уравнение, будем иметь

 x(x-1)(u'v+uv')+uv=x^2(2x-1)    или     x(x-1)vu'+(x(x-1)v'+v)u=x^2(2x-1).         (*)

Функцию v=v(x) находим из условия x(x-1)v'+v=0. Беря любое частное решение последнего уравнения, например v=\frac{x}{x-1}, и подставляя его в (*), получаем уравнение u'=2x-1, из которого находим функцию u(x)=x^2-x+C. Следовательно, общее решение линейного уравнения будет выглядеть следующим образом:

y=uv=(x^2-x+C)\frac{x}{x-1}     или      y=\frac{Cx}{x-1}+x^2.

Ответ:   y=\frac{Cx}{x-1}+x^2.

Добавить комментарий