Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли имеет вид

\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n,

где n \ne 0,1 (при n=0 и n=1 это уравнение является линейным).

С помощью замены переменной z= \frac{1}{y^{n-1}} уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Заметим, что уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации произвольной постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки y(x)=u(x)v(x).

Пример 1. Решить уравнение

y'-xy=-xy^3

Решение: Разделим обе части уравнения на y^3:

\frac{y'}{y^3}-x \frac{1}{y^2}=-x.

Введем теперь замену \frac{1}{y^2}=z, - \frac{2y'}{y^3}=z', откуда \frac{y'}{y^3}=-\frac{1}{2} z'. После подстановки последнее уравнение обратится в линейное

-  \frac{1}{2}z'-xz=-x     или      z'+2xz=2x,

общее решение которого

z=1+Ce^{-x^2}.

Возвращаемся к замене и получаем общий интеграл данного уравнения

\frac{1}{y^2}=1+Ce^{-x^2}     или     y^2(1+Ce^{-x^2})=1.

Ответ:   y^2(1+Ce^{-x^2})=1.

Добавить комментарий