Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0     (1)

называется уравнением в полным дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции u(x,y), то есть

M(x,y)dx+N(x,y) \equiv \frac{\partial u}{\partial x}dx+ \frac{\partial u}{\partial y}dy.

Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной области D изменения переменных x и y выполнялось условие

\frac{\partial M}{\partial y} \equiv \frac{\partial N}{\partial x}.     (2)

Общий интеграл уравнения (1) имеет вид u(x,y)=C или

 \int\limits_{x_0}^{x}\ M(x,y) \, dx + \int\limits_{y_0}^{y}\ N(x,y) \, dx = C.

Пример 1. Решить уравнение

(\sin{xy} + xy \cos{xy})dx+x^2 \cos{xy} dy = 0

Решение:   Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах:

\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y} (\sin{xy}+xy \cos{xy}) = x \cos{xy} + x \cos{xy} -x^2y \sin{xy}

= 2x \cos{xy} - x^2y \sin{xy},

\frac{\partial N}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x} (x^2 \cos{xy}) = 2x \cos{xy} -x^2y \sin{xy},

отсюда делаем вывод о том, что \frac{\partial M}{\partial y} \equiv \frac{\partial N}{\partial x}, то есть условие (2) выполнено. Таким образом, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и

M= \frac{\partial u}{\partial x} = \sin{xy} +xy \cos{xy},     N=\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 \cos{xy},

поэтому

 u(x,y)= \int (\sin{xy} + xy \cos{xy})dx+\varphi (y),

где \varphi (y) пока неопределенная функция.

Интегрируя, получаем  u(x,y)=x \sin{xy} + \varphi (y).

Частная производная \frac{\partial u}{\partial y} найденной функции u(x,y) должна равняться x^2 \cos{xy}, что дает

x^2 \cos{xy} + {\varphi}' (y) =x^2 \cos{xy},

откуда {\varphi}' (y) = 0, так что \varphi (y) = C. Таким образом u(x,y)=x \sin{xy}+C.

 Общий интеграл исходного уравнения x \sin{xy} = C.

Ответ:   x \sin{xy} = C.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

(x^3+xy^2)dx+(x^2y+y^3)dy=0

Решение:   Здесь \frac{\partial M}{\partial y} = 2xy, \frac{\partial N}{\partial x} = 2xy, так что условие (2) выполнено и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Это уравнение легко привести к виду du=0 непосредственной группировкой его членов. Для этого перепишем его следующим образом:

x^3 dx+xy(ydx+xdy)+y^3dy=0.

Понятно, что x^3dx=d(\frac{x^4}{4}),     xy(ydx+xdy)=xyd(xy)=d(\frac{(xy)^2}{2}),     y^3dy=d(\frac{y^4}{4}).

Поэтому исходное уравнение можно записать так:

d(\frac{x^4}{4}) + d(\frac{(xy)^2}{2}) + d(\frac{y^4}{4}) =0     или     d(\frac{x^4}{4} + \frac{(xy)^2}{2} + \frac{y^4}{4}) =0.

Следовательно, x^4+2(xy)^2+y^4 =C есть общий интеграл исходного уравнения.

Ответ:  x^4+2(xy)^2+y^4 =C.

Добавить комментарий