Интегрирующий множитель

В некоторых случая, когда уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 не является уравнением в полных дифференциалах, удается подобрать функцию \mu (x,y), после умножения на которую левая часть данного уравнения превращается в полный дифференциал

du= \mu Mdx + \mu Ndy.

 Такая функция \mu (x,y) называется интегрирующим множителем. Из определения интегрирующего множителя получим:

\frac{\partial}{\partial y} (\mu M) =  \frac{\partial}{\partial x} (\mu N)     или     N \frac{\partial \mu}{\partial x} -M \frac{\partial \mu}{\partial y} = \left ( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} \right ) \mu,

откуда N \frac{\partial \ln{\mu}}{\partial x} - M \frac{\partial \ln{\mu}}{\partial y} = \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}.       (*)

 Мы получили для нахождения интегрирующего множителя уравнение в частных производных.

Отметим некоторые частные случаи, когда удается сравнительно легко найти решение уравнения (*), то есть найти интегрирующий множитель.

  1. Если \mu = \mu (x), то \frac{\partial \mu}{\partial y} = 0 и уравнение (*) примет вид

\frac{d \ln{\mu}}{dx} = \frac{(\partial M /\partial y) - (\partial N / \partial x)}{N}.     (1)

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y, необходимо и достаточно, чтобы правая часть (1) была функцией только x. В таком случае \ln {\mu} найдется квадратурой.

Пример 1. Решить уравнение

(x+y^2)dx-2xydy=0

Решение:    Здесь M=x+y^2, N=-2xy. Имеем

\frac{(\partial M /\partial y) - (\partial N / \partial x)}{N} = \frac{2y+2y}{-2xy} = - \frac{2}{x},

 следовательно, \frac{d \ln{\mu}}{dx} = - \frac{2}{x}, \ln{\mu} = -2 \ln{|x|}, \mu = \frac{1}{x^2}.

Уравнение \frac{x+y^2}{x^2}dx -2 \frac{xy}{x^2}dy = 0 есть уравнение в полных дифференциалах. Его левую часть можно представить в виде

\frac{dx}{x} - \frac{2xydy - y^2dx}{x^2} =0,     откуда     d \left ( 2 \ln{|x|} - \frac{y^2}{x} \right ) = 0

и общий интеграл данного уравнения x=C \cdot y^{\frac{y^2}{x}}

Ответ:    x=C \cdot y^{\frac{y^2}{x}}.

   2. Аналогично, если  \left ( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right ) \frac{1}{M} есть функция только от y, то уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 имеет интегрирующий множитель \mu = \mu (y), зависящий только от y.

Пример 2. Решить уравнение

2xy \ln{y} dx + (x^2 + y^2 \sqrt{y^2+1}) dy = 0

Решение:    Здесь M= 2xy \ln{y}, N= x^2 + y^2 \sqrt{y^2+1}. Имеем

\frac{(\partial N / \partial x) - (\partial M / \partial y)}{M} = \frac{2x -2x(\ln{y} +1)}{2xy \ln{y}} = - \frac{1}{y},

следовательно,  \frac{d \ln{\mu}}{dy} = - \frac{1}{y},     \mu = \frac{1}{y}.

Уравнение   \frac{2xy \ln{y} dx}{y} + \frac{ x^2 + y^2 \sqrt{y^2+1}}{y} dy =0  является уравнением в полных дифференциалах. Его можно записать в виде

d(x^2 \ln{y}) + y \sqrt{y^2+1} dy = 0,     откуда     x^2 \ln{y} +\frac{1}{3} (y^2 +1)^{\frac{3}{2}} = C.

Ответ:    x^2 \ln{y} +\frac{1}{3} (y^2 +1)^{\frac{3}{2}} = C.

Добавить комментарий