Уравнение Риккати

Дифференциальное уравнение первого порядка

\frac{dy}{dx} + a(x)y^2 +b(x)y + c(x) =0,     (1)

где a(x), b(x), c(x) — некоторые заданные функции, называется уравнением Риккати (обобщенным). В том случае, если коэффициенты a, b, c в уравнении постоянны, данное уравнение решается с помощью разделения переменных, и мы непосредственно переходим в общему интегралу:

C_1 -x = \int \frac{dy}{ay^2+by+c}

 Свойства уравнения Риккати:

1)  Если известно какое-нибудь частное решение y_1 (x) уравнения (1), то его общее решение может быть получено при помощь квадратур.

Действительно, положим, что

y= y_1 (x) +z(x),     (2)

где z(x) — новая неизвестная функция. Подставляя (2) в (1), найдем

 \frac{dy_1}{dx} + a(x) (y_1^2 + 2y_1 z + z^2) +b(x)(y_1+z) +c(x)=0,

отсюда, в силу того, что y_1 (x) есть решение уравнения (1), получим

\frac{dz}{dx} + a(x) (2y_1 z +z^2) + b(x)z=0     или     \frac{dz}{dx} +a(x)z^2 + (2a(x)y_1 + b(x))z=0     (*)

Заметим, что уравнение (*) представляет собой частный случай уравнения Бернулли.

Пример 1. Решить уравнение Риккати  y' - y^2 + 2e^x y = e^{2x} + e^x,  зная его частное решение  y_1 = e^x.

Решение:  Положим y= e^x + z(x) и подставим в исходное уравнение; получим \frac{dz}{dx} = z^2,

откуда  - \frac{1}{z} = x-C     или     z= \frac{1}{C-x}.

Таким образом, общее решение исходного уравнения выглядит так:  y= e^x + \frac{1}{C-x}.

Ответ:    y= e^x + \frac{1}{C-x}.

Замечание:  Вместо подстановки (2) часто практически боле выгодной будет подстановка  y= y_1 (x) + \frac{1}{u(x)},

которая приводит уравнение Риккати к линейному  u' - (2ay_1 + b)u=a.

2)  Если известны два частных решения уравнения (1), то его общий интеграл находится одной квадратурой.

Пусть известны два некоторых решения y_1 (x) и y_2 (x) уравнения Риккати. Используя тот факт, что имеет место тождество

\frac{dy_1}{dx} \equiv -a(x) y_1^2 - b(x)y_1 - c(x),

представим уравнение (1) в таким виде:

\frac{1}{y-y_1} \frac{d(y-y_1)}{dx} = -a(x)(y+y_1) - b(x)     или     \frac{d}{dx} (\ln{y} - y_1) = -a(x)(y+y_1) - b(x).     (3)

Для второго частного решения y_2 (x) находим аналогично  \frac{d}{dx} (\ln{y} - y_2) = -a(x)(y+y_2)-b(x).     (4)

Вычитая из равенства (3) равенство (4), получим  \frac{d}{dx} (\ln{\frac{y-y_1}{y-y_2}}) = a(x)(y_2 - y_1),  откуда

\frac{y-y_1}{y-y_2} = Ce^{\int a(x) (y_2 (x) - y_1 (x)) dx}     (5)

Пример 2.  Уравнение

\frac{dy}{dx} = \frac{m^2}{x^4} -y^2,     m = \operatorname{const}

имеет частные решения  y_1 = \frac{1}{x} + \frac{m}{x^2},   y_2 = \frac{1}{x} - \frac{m}{x^2}.  Найти его общий интеграл.

Решение:   Используя формулу (5), получаем общий интеграл исходного уравнения

\frac{y-y_1}{y-y_2} = Ce^{- \int \frac{2m}{x^2} dx},     откуда     \frac{x^2 y -x-m}{x^2 y -x+m} = Ce^{\frac{2m}{x}}.

Ответ:    \frac{x^2 y -x-m}{x^2 y -x+m} = Ce^{\frac{2m}{x}}.

Добавить комментарий