Какое дифференциальное уравнение перед Вами?

Итак, перед Вами дифференциальное уравнение. С чего начать?

Первым и, наверное, самым важным шагом является определение его вида. Далее наши действия определяются алгоритмом решения для той или иной разновидности дифференциальных уравнений. Приведем ниже основные виды уравнений, встречающихся на практике.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными

Вид:     \boxed{\varphi_1(x)\psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\psi_2(y)dy}

Способ решения:   разделить переменные и проинтегрировать уравнение; проверить, не были ли потеряны корни в процессе разделения переменных.

Однородные уравнения

Вид:     \boxed{\frac{dy}{dx}=f(x,y)}     Условие:  f(tx,ty)=f(x,y),  t \ne 0

Способ решения:   ввести замену y=u \cdot x, где u(x) — некоторая функция от x; подставить y=ux и y'=u'x+u и решить уравнение с разделяющимися переменными, тем самым определив u(x).

Линейные уравнения

Вид:     \boxed{\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)}

Способ решения:   ввести замену y=v(x) \cdot u(x); подставить y=vu и y'=v'u+u'v в уравнение (получаем vu'+u(p(x) \cdot v+v')=q(x)); определить v(x) и u(x), решив систему \begin{cases} p(x) \cdot v+v' =0 \\ vu'  =q(x)  \end{cases}.

 Уравнение Бернулли

Вид:     \boxed{\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n}

Способ решения:   с помощью замены z=\frac{1}{y^{n-1}} свести уравнение к линейному.

Уравнения в полных дифференциалах

Вид:     \boxed{M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}     Условие:  \frac{\partial M}{\partial y} \equiv \frac{\partial N}{\partial x}

Способ решения:   полагая  \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{dy} dy =0, определить F(x,y) с помощью алгоритма: 1) найти F= \int \frac{\partial F}{\partial x} dx (при нахождении интеграла константу заменить на некоторую функцию \varphi (y)); 2) продифференцировать полученное выражение по y; 3) определить \varphi (y), приравняв найденную производную к \frac{\partial F}{dy}; 4) записать ответ в виде F(x,y)+C=0,  где C= \operatorname{const}.

 Дифференциальные уравнения высших порядков

Допускающие понижение порядка

Вид:     \boxed{y^{(n)}=f(x)}

Способ решения:   проинтегрировать выражение n раз.

Вид:     \boxed{F(x,y^{(k)}, y^{(k+1)}, \cdots , y^{(n)}) =0}

Способ решения:   ввести замену p(x)=y^{(k)}(x) и перейти к уравнению F(x,p,p', \cdots , p^{(n-k)}) =0; найти отсюда p= f(x, C_1 , C_2 , \cdots , C_{n-k}); определить y из уравнения y^{(k)} = f(x, C_1 , C_2 , \cdots , C_{n-k})  k-кратным интегрированием.

Вид:     \boxed{F(y,y' , y'' , \cdots , y^{(n)}) =0}

Способ решения:   воспользоваться подстановкой p(y)=y', понижая тем самым порядок уравнения.

 Линейные однородные с постоянными коэффициентами

Вид:     \boxed{a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)} + \cdots + a_ny=0}

Способ решения:   составить и решить характеристическое уравнение a_0{\lambda}^{(n)}+a_1{\lambda}^{(n-1)} + \cdots + a_n=0; в зависимости от найденных {\lambda}_i записать общее решение.

 Линейные НЕоднородные с постоянными коэффициентами

Вид:     \boxed{a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)} + \cdots + a_ny=f(x)}

Способ решения:   определить общее решение соответствующего однородного уравнения a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)} + \cdots + a_ny=0; найти частное решение неоднородного уравнения методом подбора;  записать ответ в виде суммы двух найденных решений.

Более развернутое описание алгоритмов решения с примерами можно найти в разделе «дифференциальные уравнения». Здесь же получилась своего рода памятка, которая должна быть всегда перед глазами, пока у Вас не появится достаточный опыт решения данных задач.




Добавить комментарий