Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

1) Уравнение вида y^{(n)} = f(x). После n-кратного интегрирования получается общее решение

y = \underbrace{ \int \cdots \int}_{n} f(x) \underbrace{ dx \cdots dx }_{n} +C_1 \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + C_2 \frac{x^{n-2}}{(n-2)!} + \cdots + C_{n-1} x +C_n

 2) Уравнения не содержит искомой функции и ее производных до порядка k-1 включительно:

F(x,y^{(k)}, y^{(k+1)}, \cdots , y^{(n)}) =0

Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц заменой y^{(k)} (x)=p(x). Тогда уравнение примет вид

F(x,p,p', \cdots , p^{(n-k)}) =0

Из последнего уравнения, если это возможно, находим p= f(x, C_1 , C_2 , \cdots , C_{n-k}), а затем определяем y из уравнения y^{(k)} = f(x, C_1 , C_2 , \cdots , C_{n-k})  k-кратным интегрированием.

3) Уравнение не содержит независимого переменного:

F(y,y' , y'' , \cdots , y^{(n)}) =0

Подстановка y' =p позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом p рассматривается как новая функция от y:  p=p(y). Все производные y' , y'' , \cdots , y^{(n)} выражаются через производные от новой неизвестной функции p по y:

y' = \frac{dy}{dx} = p,

y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy},

y''' = \frac{d}{dx} \left ( p \frac{dp}{dy} \right ) = \frac{d}{dy} \left ( \frac{dp}{dy} \right )  \frac{dy}{dx} = p^2  \frac{d^2 p}{dy^2} + p {\left ( \frac{dp}{dy} \right )}^2  и так далее.

 Подставив эти выражения вместо y',y'', \cdots , y^{(n)} в уравнение, получим дифференциальное уравнение (n-1)-го порядка.

4) Уравнение F(x,y,y', \cdots , y^{(n)}) =0, однородное относительно аргументов y,y',y'', \cdots ,y^{(n)}, то есть F(x,ty,ty', \cdots , ty^{(n)}) = t^k F(x,y, y', \cdots , y^{(n)}).

Порядок такого уравнения может быть понижен на единицу подстановкой y=e^{\int z dx}, где z — новая неизвестная функция от x: z=z(x).

5) Уравнение, записанное в дифференциалах, F(x,y,dx,dy,d^2 y, \cdots , d^{(n)} y) =0, в котором функция F однородная относительно своих аргументов x,y,dx,dy, d^2 y, \cdots , d^n y, если считать x и dx — первого измерения, а y, dy, d^2y и так далее — измерения m. Тогда \frac{dy}{dx} будет иметь измерение m-1, \frac{d^2y}{dx^2} — измерение m-2 и так далее.

Для понижения порядка применяется подстановка x=e^t, y=ue^{mt}. В результате получается дифференциальное уравнение между u и t, не содержащее явно t, то есть допускающее понижение порядка на единицу (случай 3).

 Пример 1. Найти общее решение уравнения y'''= \sin{x} + \cos{x}.

Решение:  Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем:

y''=- \cos{x} + \sin{x} + C_1,

y'=- \sin{x} - \cos{x} + C_1x+C_2,

y= \cos{x} - \sin{x} + C_1 \frac{x^2}{2} +C_2x+C_3.

Ответ:   y= \cos{x} - \sin{x} + C_1 \frac{x^2}{2} +C_2x+C_3.

Пример 2. Решить уравнение  y'''= \sqrt{1+(y'')^2}.

Решение:   Данное уравнение не содержит искомой функции y и ее производной, поэтому полагаем y''=p. После этого уравнение примет вид:

\frac{dp}{dx}= \sqrt{1+p^2}.

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

p=\frac{e^{x+C_1} - e^{-(x+C_1)}}{2}.

Заменим p на y'':

y''=\frac{e^{x+C_1} - e^{-(x+C_1)}}{2}.

Интегрируя последовательно, будем иметь

y'= \frac{e^{x+C_1} + e^{-(x+C_1)}}{2} +C_2     и     y= \frac{e^{x+C_1} - e^{-(x+C_1)}}{2} +C_2 x + C_3.

Ответ:   y= \frac{e^{x+C_1} - e^{-(x+C_1)}}{2} +C_2 x + C_3.

Пример 3. Решить уравнение  xy^{V} -y^{IV} =0.

 Решение:   Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до третьего порядка включительно. Поэтому, полагая y^{IV} =p, получаем:

x \frac{dp}{dx} -p=0,     откуда     p=C_1 x,   y^{IV} = C_1 x.

Последовательно интегрируя, найдем

y'''=C_1 \frac{x^2}{2} +C_2,

y''=C_1 \frac{x^3}{6} +C_2x +C_3,

y'= C_1 \frac{x^4}{24} +C_2 \frac{x^2}{2} +C_3x +C_4,

y=C_1 \frac{x^5}{120} +C_2 \frac{x^3}{6} + C_3 \frac{x^2}{2} +C_4x + C_5.

Ответ:   y=C_1 \frac{x^5}{120} +C_2 \frac{x^3}{6} + C_3 \frac{x^2}{2} +C_4x + C_5.

 Пример 4. Решить уравнение x^2yy''=(y-xy')^2.

Решение:   Данное уравнение однородно относительно y,y',y''. Порядок этого уравнения понижается на единицу подстановкой y=e^{\int zdx}, где z — новая неизвестная функция от x. Имеем

y'=ze^{\int zdx},     y''=(z'+z^2)e^{\int zdx}.

Подставляя выражение для y,y',y'' в уравнение, получаем

x^2(z'+z^2)e^{2 \int zdx} = (e^{\int zdx} - xze^{\int zdx})^2.

Сокращаем на e^{2 \int zdx}:

x^2(z'+z^2)=(1-xz)^2     или     x^2z'+2xz=1.

Это уравнение линейное. Левую часть его можно записать в виде (x^2z)'=1, откуда

x^2z=x+C_1     или     z=\frac{1}{x} + \frac{C_1}{x^2}.

Находим интеграл:

\int zdx = \int{\left ( \frac{1}{x} + \frac{C_1}{x^2}\right ) dx} = \ln{|x|} - \frac{C_1}{x} + \ln{C_2}.

Общим решением данного уравнения будет

y=e^{\int zdx}=e^{\ln{|x|} - \frac{C_1}{x} + \ln{C_2}}     или     y=C_2xe^{ - \frac{C_1}{x}}.

Кроме того, уравнение имеет очевидное решение y=0, которое получается из общего при C_2=0.

Ответ:    y=C_2xe^{ - \frac{C_1}{x}}.

Пример 5. Решить уравнение x^3y''=(y-xy')^2.

Решение:   Покажем, что это уравнение — обобщенное однородное. Считая x,y,y',y'' величинами 1-го, m-го, (m-1)-го и (m-2)-го измерений соответственно и приравнивая измерения всех членов, получаем

3+(m-2)=2m,

откуда m=1. Разрешимость данного уравнения является условием обобщенной однородности уравнения.

Сделаем подстановку x=e^t, y=ue^t. Так как

\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(du/dt +u)e^t}{e^t} = \frac{du}{dt} +u,

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(d/dt)(dy/dt)}{dx/dt} = \frac{d^2u/dy^2 +du/dt}{e^t} =e^{-t} \left ( \frac{d^2u}{dt^2} + \frac{du}{dt}\right ),

то данное уравнение после сокращения на множитель e^{2t} примет вид

\frac{d^2 u}{dt^2} + \frac{du}{dt} = {\left ( \frac{du}{dt} \right )}^2.

Положив \frac{du}{dt} =p, \frac{d^2u}{dt^2} =p \frac{dp}{du}, получим p \frac{dp}{du} +p=p^2. Отсюда p=0 или \frac{dp}{du} +1=p. Интегрируя второе уравнение, найдем

p=1+C_1e^u     или     \frac{du}{dt}=1+C_1e^u.

Общим решением этого уравнения будет

u=\ln{\frac{e^t}{C_1e^t+C_2}} .

Возвращаясь к переменным x и y, получаем общее решение данного уравнения

y=x \ln{\frac{x}{C_1x+C_2}}.

Ответ:   y=x \ln{\frac{x}{C_1x+C_1}}.

Добавить комментарий