Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Пусть дано дифференциальное уравнение

a_0 y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y= f(x)       (*)

с постоянными вещественными коэффициентами a_0, a_1, a_2, \cdots , a_n.

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Отыскание общего решения соответствующего однородного уравнения было показано ранее. Таким образом, задача интегрирования неоднородного уравнения сводится к нахождению частного решения y_{ch.n} (здесь должен быть «игрек», а внизу «ч.н.», но я сходу не нашел как использовать русские буквы в Latex 🙂 ) неоднородного уравнения. В общем случае интегрирование неоднородного уравнения может быть осуществлено методом вариации произвольных постоянных. Для правых частей специального вида частное решение находится проще, так называемым методом подбора. Общий вид правой части f(x) уравнения (*), при котором возможно применить метод подбора, следующий:

f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x) \cos{\beta x} +Q_m(x) \sin{\beta x}],

где P_l(x) и Q_m(x) суть многочлены степени l и m соответственно. В этом случае частное решение уравнения (*) ищется в виде

y_{ch.n}=x^s e^{\alpha x} [\tilde{P_k}(x) \cos{\beta x} + \tilde{Q_k} (x) \sin{\beta x}],

где k= \operatorname{max} (m,l), \tilde{P_k}(x) и \tilde{Q_k}(x) — многочлены от x k-й степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а s — кратность корня \lambda = \alpha + i \beta характеристического уравнения (если \alpha \pm i \beta не является корнем характеристического уравнения, то s=0).

Неоднородные

Пример 1. Найти общее решение уравнения y'''-y''+y'-y=x^2+x.

Решение:  Характеристическое уравнение {\lambda}^3-{\lambda}^2+{\lambda}-1=0 имеет различные корни {\lambda}_1=1, {\lambda}_2=-i, {\lambda}_3=i, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения y_{o.o} будет

y_{o.o}=C_1e^x+C_2 \cos{x} + C_3 \sin{x}.

Так как число ноль не является корнем характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения y_{ch.n} надо искать в виде:

y_{ch.n}=Ax^2+Bx+C,

 где A, B, C — неизвестные пока коэффициенты, подлежащие определению.

y'_{ch.n}= 2Ax+B;       y''_{ch.n}=2A;       y'''_{ch.n}=0

Подставляя выражение для y_{ch.n} в данное уравнение, получаем

 -Ax^2+(2A-B)x+(B-2A-C)=x^2+x,

откуда, приравнивая слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях x, будем иметь:

\begin{cases} A=-1 \\ 2A-B=1 \\ B-2A-C=0 \end{cases}

Решая эту систему, найдем A=-1, B=-3, C=-1, следовательно, частное решение будет

y_{ch.n} = -x^2-3x-1,

и общее решение данного уравнения имеет вид

y=y_{o.o}+y_{ch.n} = C_1e^x+C_2 \cos{x} +C_3 \sin{x} -x^2-3x-1.

Ответ:   y=C_1e^x+C_2 \cos{x} +C_3 \sin{x} -x^2-3x-1.

Пример 2. Найти общее решение уравнения y'''-y''=12x^2+6x.

Решение:  Характеристическое уравнение {\lambda}^3-{\lambda}^2=0 имеет корни {\lambda}_1={\lambda}_2=0, {\lambda}_3=1, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет

y_{o.o}=C_1+C_2x+C_3e^x.

Так как число 0 есть двукратный корень характеристического уравнения, частное решение надо искать в виде

y_{ch.n}=x^2(Ax^2+Bx+C)=Ax^4+Bx^3+Cx^2.

 Подставляя выражение для y_{ch.n} в данное уравнение, будем иметь

-12Ax^2+(24A-6B)x+(6B-2C)=12x^2+6x,

откуда

\begin{cases} -12A=12 \\ 24A-6B=6 \\ 6B-2C=0 \end{cases}

Эта система имеет решение A=-1, B=-5, C=-15, а значит

y_{ch.n}=-x^4-5x^3-15x^2.

Общее решение уравнения  y=C_1+C_2x+C_3e^x-x^4-5x^3-15x^2.

Ответ:   y=C_1+C_2x+C_3e^x-x^4-5x^3-15x^2.

Пример 3. Найти общее решение уравнения y''+3y'+2y=x \sin{x}.

Решение:  Характеристическое уравнение {\lambda}^2+3{\lambda}+2=0 имеет корни {\lambda}_1=-1, {\lambda}_2=-2, поэтому

y_{o.o}=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.

Так как число i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y_{ch.n}=(Ax+B) \cos{x} + (Cx+D) \sin{x},

тогда

y'_{ch.n}=(A+D+Cx) \cos{x} + (C-B-Ax) \sin{x},       y''_{ch.n}=(2Cx-B-Ax) \cos{x} - (2A+D+Cx) \sin{x}.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь

[(A+3C)x+3A+B+2C+3D] \cos{x} +

[(-3A+C)x-2A-3B+3C+D] \sin{x} = x \sin{x}.

Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно A, B, C, D

\begin{cases} A+3C=0 \\ 3A+B+2C+3D=0 \\ -3A+C=1 \\ 2A-3B+3C+D=0 \end{cases}

Решая эту систему, найдем A=- \frac{3}{10}, B= \frac{17}{50}, C= \frac{1}{10}, D= \frac{3}{25} и частное решение запишется так:

y_{ch.n}= \left ( - \frac{3}{10} x +\frac{17}{50} \right ) \cos{x} + \left ( \frac{1}{10} x + \frac{3}{25} \right ) \sin{x}.

Общее решение данного уравнения

y=C_1e^{-x} +C_2e^{-2x} + \left ( - \frac{3}{10} x +\frac{17}{50} \right ) \cos{x} + \left ( \frac{1}{10} x + \frac{3}{25} \right ) \sin{x}.

Ответ:   y=C_1e^{-x} +C_2e^{-2x} + \left ( - \frac{3}{10} x +\frac{17}{50} \right ) \cos{x} + \left ( \frac{1}{10} x + \frac{3}{25} \right ) \sin{x}

Добавить комментарий