Неопределенный интеграл. Свойства. Примеры.

Сегодня мы познакомимся с неопределенным интегралом, рассмотрим его свойства и порешаем несложные задачи. Для успешного изучения материала убедитесь, что у Вас нет проблем с производными 😉

Неопределенный интеграл функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

    \[\boxed{\int f(x)dx = F(x)+C}\]

C — некоторая константа. F(x) является первообразной функции f(x). Это значит, что если продифференцировать F(x), мы получим f(x), то есть F'(x)=f(x).

Почему нужно писать «плюс константа»? Поскольку производная любой константы равна нулю, и производная суммы равна сумме производных, для функции f(x) можно записать бесконечное множество первообразных. Попробуйте, например, продифференцировать F=x^2+1,  F=x^2-5,  F=x^2-1000. Понятно, что везде будет получена функция f(x)=2x. Таким образом, первообразной для функции f(x)=2x будет множество функций вида F(x)=x^2+C.

Для решения базовых примеров необходимо знать свойства неопределенных интегралов и иметь перед глазами таблицу интегралов (которую, как и таблицу производных, стоит выучить наизусть).

 Свойства:

Свойства интегралов

Первое свойство говорит о том, что константу можно выносить за знак интеграла. Второе свойство: интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов.

Таблица интегралов

таблица интегралов

[свернуть]

После решения конкретных задач на нахождение неопределенного интеграла рекомендую всегда делать проверку. Каким образом выполняется проверка? Положим, мы получили ответ F(x)+C. От этого выражения необходимо взять производную. Если производная оказалась в точности интегрируемой функцией f(x), то интеграл вычислен верно.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл. Результат проверить дифференцированием.

    \[\int \left ( \frac{5}{3x} + 3x^2 + \cos{2} - \frac{6}{\sin^2{x}}\right ) dx\]

Решение:   Понятно, что такой функции нет в таблице интегралов, поэтому нужно выполнить какие-то преобразования. Первым делом используем второе свойство интеграла:

    \[\int \left ( \frac{5}{3x} + 3x^2 + \cos{2} - \frac{6}{\sin^2{x}}\right ) dx = \int \frac{5}{3x} dx + \int 3x^2dx + \int \cos{2} dx - \int \frac{6}{\sin^2{x}} dx =\]

Теперь каждый интеграл похож на табличный, но не совсем. Воспользуемся первым свойством — вынесем константы за знак интеграла. Отдельно нужно заметить, что \cos{2} не является функцией от x, это самая обыкновенная константа.

    \[= \frac{5}{3} \int \frac{dx}{x} +3 \int x^2 dx + \cos{2} \int dx - 6 \int \frac{dx}{\sin^2{x}} =\]

Все полученные интегралы табличные. Глядя на таблицу интегралов, записываем ответ:

    \[= \frac{5}{3} \ln{|x|} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + \cos{2} \cdot x - 6 \cdot (-\operatorname{ctg}{x}) +C= \frac{5}{3} \ln{|x|} + x^3 +x \cos{2} + 6 \operatorname{ctg}{x} +C\]

Ответ:   \frac{5}{3} \ln{|x|} + x^3 +x \cos{2} + 6 \operatorname{ctg}{x} +C

Выполним проверку — найдем производную от полученного выражения:

    \[{\left ( \frac{5}{3} \ln{|x|} + x^3 +x \cos{2} + 6 \operatorname{ctg}{x} +C \right ) }' =\]

    \[=\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{x} + 3x^2 + \cos{2} +6 \cdot \left ( -\frac{1}{\sin^2{x}}  \right ) + 0=\]

    \[=\frac{5}{3x} + 3x^2 + \cos{2} - \frac{6}{\sin^2{x}}\]

Итак, проверка выполнена, интеграл найден верно. Двигаемся дальше.

[свернуть]




Пример 2. Найти неопределенный интеграл. Результат проверить дифференцированием.

    \[\int \frac{3x^2-x^{1/3}+\sqrt{x}}{x} dx\]

Решение: Подынтегральное выражение представляет собой дробь с весьма неприглядным числителем. Избавимся от дроби с помощью почленного деления числителя на знаменатель.

    \[\int \left ( \frac{3x^2}{x} -\frac{x^{1/3}}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}\right ) dx =\]

Используем свойство степеней \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}.

    \[\int \left ( 3x^{2-1} - x^{\frac{1}{3}-1} + x^{\frac{1}{2}-1}\right ) dx = \int \left ( 3x - x^{-\frac{2}{3}} + x^{-\frac{1}{2}} \right ) dx=\]

Интеграл суммы равен сумме интегралов (2 свойство). Для каждого получившегося интеграла применяем третью формулу из таблицы.

    \[3\int xdx -\int x^{-\frac{2}{3}} +\int x^{-\frac{1}{2}} = 3 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} + \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} +C=\]

    \[=\frac{3x^2}{2} - 3x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} +C= \frac{3x^2}{2} - 3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt{x} +C\]

Ответ:   \frac{3x^2}{2} - 3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt{x} +C

И снова необходимо выполнить проверку. Дифференцируем полученное выражение:

    \[{\left ( \frac{3x^2}{2} - 3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt{x} +C \right )}'=\]

    \[= \frac{3}{2} \cdot 2x - 3 \cdot \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} + 0 =\]

    \[=3x-x^{-\frac{2}{3}} + x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x} \left ( 3x^{1+1} - x^{-\frac{2}{3} +1} + x^{-\frac{1}{2} +1 } \right ) =\]

    \[=\frac{3x^2 - x^{1/3}+\sqrt{x}}{x}\]

[свернуть]

Как для нахождения производных, так и для вычисления интегралов существует множество программ. Особо удобны онлайн сервисы, например, Wolfram|Alpha. То есть необязательно выполнять (если того не требует задача) проверку вручную.

Пример 3. Найти интеграл. Выполнить проверку.

    \[\int x^3(x^2+2)^2dx\]

Решение:   Преобразуем подынтегральное выражение. Применим формулу квадрата суммы, а затем раскроем скобки.

    \[\int x^3(x^2+2)^2dx = \int x^3(x^4+4x^2+4)dx =\]

    \[= \int (x^7+4x^5+4x^3)dx =\]

Интеграл суммы равен сумме интегралов. Для получившихся второго и третьего интегралов применяем первое свойство (выносим константу).

    \[=\int x^7dx + 4 \int x^5 dx + 4 \int x^3 dx =\]

    \[=\frac{x^8}{8} + 4 \cdot \frac{x^6}{6} + 4 \cdot \frac{x^4}{4} +C = \frac{x^8}{8} + \frac{2x^6}{3} + x^4 +C\]

Ответ:   \frac{x^8}{8} + \frac{2x^6}{3} + x^4 +C

Интеграл найден. Выполним проверку — продифференцируем полученное выражение:

    \[{\left ( \frac{x^8}{8} + \frac{2x^6}{3} + x^4 +C \right )}' = \frac{1}{8} \cdot 8x^7 + \frac{2}{3} \cdot 6x^5 + 4x^3 +0 =\]

    \[=x^7 + 4x^5 + 4x^3 = x^3 (x^4 + 4x^2 + 4) = x^3 (x^2+2)^2\]

Итак, дифференцирование дало в точности подынтегральное выражение исходного интеграла. Таким образом, задача выполнена верно.

[свернуть]

Все разобранные примеры получились в основном на одну формулу из таблицы интегралов. Давайте это исправим 🙂

Пример 4. Найти интеграл.

    \[\int \left ( \frac{3}{\cos^2{x}} - \frac{1}{3-x^2} + \frac{5}{16+x^2} + \frac{2}{\sqrt{x^2-25}} \right ) dx\]

Решение:  Используем второе свойство — разбиваем интеграл на сумму нескольких.

    \[\int  \frac{3dx}{\cos^2{x}} -\int \frac{dx}{3-x^2} + \int \frac{5dx}{16+x^2} + \int \frac{2dx}{\sqrt{x^2-25}} =\]

Используем первое свойство — выносим константу за знак интеграла.

    \[=3 \int  \frac{dx}{\cos^2{x}} -\int \frac{dx}{3-x^2} +5 \int \frac{dx}{16+x^2} +2 \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-25}} =\]

Теперь каждый интеграл является табличным. Аккуратно записываем ответ при помощи таблицы (первый — 10я формула, второй — 13я формула, третий — 12я формула, четвертый — 14я формула):

    \[=3 \operatorname{tg}x - \frac{1}{2 \sqrt{3}} \ln{\left | \frac{\sqrt{3} +x}{\sqrt{3} -x} \right \vert \quad} + \frac{5}{4} \operatorname{arctg} \frac{x}{4} + 2 \ln{\left | x+ \sqrt{x^2-25} \right \vert \quad} +C\]

Ответ получен. Громоздкий? Ничего страшного! Главное, чтобы было правильно (сделайте проверку самостоятельно).

[свернуть]

Рассмотренный материал является первым маленьким шажком в освоении интегралов. Если здесь всё понятно, то предлагаю сразу перейти к следующей статье и научиться использовать замену при интегрировании.

Удачи! Желаю Вам никогда не забывать про константу в ответе 😉




Добавить комментарий