Производная функции одной переменной

В этой статье мы будем учиться находить производную от функции одной переменной. Дадим ее определение, вскользь затронем геометрический смысл. Разберемся с вопросом нахождения производной от сложной функции.

Итак, дадим определение производной: пусть в некоторой окрестности точки x_0 \in \mathbf{R} определена функция f: U(x_0) \subset \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}. Производной функции f в точке x_0 называется предел, если он существует,

    \[f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\]

Из школы можно вспомнить формулу для нахождения касательной к функции в точке:  f_l(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). То есть если говорить о геометрическом смысле производной, то обозначим производную функции в точке как угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной прямой к графику функции в этой точке.

производная рисунок

Правила дифференцирования:

  1. Производная суммы равна сумме производных, то есть:  (f+g)'=f'+g'
  2. Производная произведения:  (fg)'=f'g+g'f
  3. Вынесение константы за знак производной:  (Cf)'=Cf'
  4. Производная частного: {\left ( \frac{f}{g} \right )}'=\frac{f'g-g'f}{g^2}

Прежде чем перейти к задачам, необходимо обзавестись таблицей производных. В идеале вы должны ее знать наизусть, как таблицу умножения 🙂

Таблица производных

таблица производных

[свернуть]

Правилами дифференцирования и таблицей вооружились, двигаемся дальше.

Рассмотрим некоторую функцию y=u(v(x)). Как видим, функция u зависит не просто от переменной x, а от другой функции v. Будем называть такую функцию сложной. Производная сложной функции вычисляется следующим образом:

y'=(u(v(x)))'=u'(v) \cdot v'(x)

Теперь всей необходимой теорией для решения стандартных задач на нахождение производной мы обладаем, а именно: правилами дифференцирования, таблицей производных и формулой производной от сложной функции. Давайте на примерах подробно разберемся с тем, как это работает.

Задачи на применение правила дифференцирования суммы

Пример 1. Найти производную функции y=x+\sin{x}

Решение:   Применяем правило дифференцирования суммы функций:

y'=(x+ \sin{x})' = x'+ {(\sin{x})}'=*

Заглядываем в таблицу производных и ищем там производную от x и от \sin{x}

*=1+\cos{x}

Всё, производная найдена. В ответ запишем y'=1+\cos{x}

Пример 2. Найти производную функции y=\ln{x}+C, где C=\operatorname{const}

Решение:   Применяем правило дифференцирования суммы функций:

y'=(\ln{x}+C)' = (\ln{x})'+ C'=*

Открываем таблицу производных и находим производные от \ln{x} и C

*=\frac{1}{x} +0= \frac{1}{x}

Производная найдена, в ответе записываем y'=\frac{1}{x}

Пример 3. Найти производную функции y=2^x + \arccos{x} + \sqrt{x}

Решение:

y'= {\left ( 2^x + \arccos{x} + \sqrt{x} \right ) }'={\left ( 2^x \right )}' + (\arccos{x})' + (\sqrt{x})'=

=2^x \ln{2} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}

[свернуть]

Задачи на применение правила дифференцирования произведения

Пример 4. Найти производную функции y=\operatorname{tg}x \cdot x^5

Решение:   Применим правило дифференцирования произведения:

y'=(\operatorname{tg}x \cdot x^5)'=(\operatorname{tg}x)' \cdot x^5 + (x^5)' \cdot \operatorname{tg}x =*

Обращаемся к таблице производных и ищем там производные тангенса и x^5

*=\frac{1}{{\operatorname{cos}}^2{x}} \cdot x^5 + 5x^4 \cdot \operatorname{tg}x     или     y'=\frac{x^5}{{\operatorname{cos}}^2{x}} + 5x^4 \operatorname{tg}x

Производная найдена.

Пример 5. Найти производную функции y=e^x \cdot \operatorname{arctg}x

Решение:   Применим правило дифференцирования произведения:

y'= (e^x \cdot \operatorname{arctg}x)' = (e^x)' \cdot \operatorname{arctg}x + (\operatorname{arctg}x)' \cdot e^x =

= e^x \cdot \operatorname{arctg}x +\frac{1}{1+x^2} \cdot e^x = e^x \cdot \operatorname{arctg}x +\frac{e^x}{1+x^2}

Производная найдена.

Пример 6. Найти производную функции y=x \cdot \cos{x}

Решение:

y'=(x \cdot \cos{x})'=(x)' \cdot \cos{x} + (\cos{x})' \cdot x= 1 \cdot \cos{x} + (- \sin{x}) \cdot x = \cos{x} - x \sin{x}

Производная найдена.

[свернуть]




Задачи с вынесением константы за знак производной

Это правило дифференцирования самое простое для понимания (редко у кого можно встретить здесь ошибки): мы просто выносим константу за знак производной и находим производную от оставшегося выражения.

Пример 7. Найти производную функции y=7x

Решение:   Видим константу C=7, поэтому поступаем в соответствии с нашим правилом:

y'=(7x)'=7 \cdot (x)'=7 \cdot 1 = 7

Всё, задача решена 🙂 Давайте, на всякий случай, рассмотрим еще одну такую задачу.

Пример 8. Найти производную функции y=\frac{\sin{x}}{25}

Решение:   Видим дробь. Производную от дроби находить пока не умеем, но может без проблем преобразовать выражение следующим образом:

y=\frac{\sin{x}}{25} = \frac{1}{25} \cdot \sin{x}

Теперь константа очевидна, выносим и находим производную:

y'=(\frac{1}{25} \cdot \sin{x})' = \frac{1}{25} \cdot (\sin{x})' = \frac{1}{25} \cdot \cos{x} = \frac{\cos{x}}{25}

Производная найдена.

[свернуть]

Задачи на применения правила дифференцирования частного (дроби)

Ничего сложно в дифференцировании дробей нет, но на практике именно здесь чаще всего возникают ошибки, поэтому остановимся на этом моменте подробнее.

Пример 9. Найти производную функции y=\frac{\ln{x}}{x}

Решение:  Видим дробь. Мысленно повторяем для себя: «Производная дроби равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и всё это деленное на квадрат знаменателя«.

Числителем здесь является \ln{x}, а знаменателем — x. Тогда, в соответствии с формулой, напишем:

y'={\left ( \frac{\ln{x}}{x} \right )}' = \frac{(\ln{x})' \cdot x - x' \cdot \ln{x}}{x^2} =

=\frac{\frac{1}{x} \cdot x - 1 \cdot \ln{x}}{x^2} = \frac{1-\ln{x}}{x^2}

Всё, производная успешно найдена.

Пример 10. Найти производную функции y=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}

Решение:  Рассматриваем выражение. Числителем служит \sin{x}, знаменателем — \cos{x}. По формуле получим:

y'= {\left ( \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \right )}' = \frac{(\sin{x})' \cdot \cos{x} - (\cos{x})' \cdot \sin{x}}{\cos^2{x}}=

= \frac{\cos{x} \cdot \cos{x} - (-\sin{x}) \cdot \sin{x}}{\cos^2{x}} = \frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}} = *

В принципе, на этом этапе можно остановиться, производная найдена. Но, взглянув на числитель, несложно заметить и применить основное тригонометрическое тождество \cos^2{x} + \sin^2{x} = 1:

* = \frac{1}{\cos^2{x}}.

Вспомнив, что отношение синуса к косинусу есть тангенс, легко проверить получившийся ответ по таблице производных.

Пример 11. Найти производную функции y=\frac{x^2}{e^x}

Решение:   Числитель здесь x^2, знаменатель e^x. По формуле производной для дроби запишем:

y'= {\left ( \frac{x^2}{e^x} \right )}' = \frac{(x^2)' \cdot e^x - (e^x)' \cdot x^2}{{(e^x)}^2}=

= \frac{2xe^x - e^x x^2}{e^{2x}}=*

Производная найдена, но можно упростить полученное выражение, сделаем это:

*= \frac{e^x (2x-x^2)}{e^{2x}}= \frac{2x-x^2}{e^x}

Пример 12. Найти производную функции y= \frac{3^x}{\ln{3}}

Решение:   Числитель 3^x и знаменатель \ln{3}. Получаем:

y'= {\left ( \frac{3^x}{\ln{3}} \right )}' = \frac{(3^x)' \cdot \ln{3}- (\ln{3})' \cdot 3^x}{\ln^2{3}}=

= \frac{3^x \ln^2{x} - 0 \cdot 3^x}{\ln^2{3}}=3^x

Заметим, что здесь необязательно было пользоваться именно формулой для дроби, так как знаменатель представляет собой константу. Эту константу можно было вынести по предыдущему правилу дифференцирования.

[свернуть]

С правилами дифференцирования ознакомились. Переходим к дифференцированию сложной функции. Пока еще нет достаточного опыта, рекомендую на каждом шаге повторять для себя: «Производная сложной функции равна производной внешней функции на производную внутренней функции«.

Пример 13

Найти производную функции y=\cos{(5x+8)}.

Решение:   Видим обыкновенный косинус, но воспользоваться таблицей производных сразу не можем, потому что зависит косинус не просто от x, а от 5x+8. Применяем формулу для сложной функции.

Необходимо очень чётко уяснить вопрос с тем, что является в некотором выражении внешней функцией, а что внутренней. Для этого нужно посмотреть на функцию как бы в целом (это может быть нечто очень громоздкое), понять, что это прежде всего: произведение, степень, дробь или что-то другое.

В данной задаче всё просто. Прежде всего наше выражение — это косинус. То есть косинус является внешней функцией. Внутренней функцией будет являться аргумент косинуса 5x+8. Тогда по формуле запишем:

y'=(\cos{(5x+8)})' \cdot (5x+8)'=-\sin{(5x+8)} \cdot 5 = -5 \sin{(5x+8)}.

[свернуть]

Пример 14

Найти производную функции y={(3x+2)}^4

Решение:   Что выражение представляет собой прежде всего? Это степень. Но, как и в предыдущем примере, сразу воспользоваться таблицей производных невозможно, потому что в основании степени не просто x, а целое выражение 3x+2. Применяем формулу с учетом того, что внешняя функция u(v)=(3x+2)}^4, а внутренняя v(x)=3x+2:

y'=((3x+2)}^4)' = ((3x+2)}^4)' \cdot (3x+2)' = 4 (3x+2)^3 \cdot 3 = 12(3x+2)^3

[свернуть]

В 13 и 14 примерах для нахождения производной достаточно было применить формулу для сложной функции всего один раз. Однако на практике чаще всего имеются выражения вида «функция от функции, зависящей от еще одной функции, которая зависит функции и т.д.». В этих случаях принцип нахождения производной не изменяется — мы просто используем формулу несколько раз.

Пример 15

Найти производную функции y=\ln{(\sin{(5x+7)})}

Решение:    Имеем натуральный логарифм, который зависит от синуса, который зависит от некоторого выражения. Внешняя функция здесь сам логарифм, то есть \ln{(\sin{(5x+7)})}, внутренняя — выражение под логарифмом, т.е. \sin{(5x+7)}.

y'=(\ln{(\sin{(5x+7)})})' \cdot (\sin{(5x+7)})' = *

Производную первого множителя уже можем написать из таблицы производных (сделаем это позже, чтобы не возникло путаницы). Для нахождения производной второго множителя вновь используем формулу, полагая, что внешней функцией является синус, а внутренней — выражение 5x+7:

*=(\ln{(\sin{(5x+7)})})' \cdot (\sin{(5x+7)})' \cdot (5x+7)' =

= \frac{1}{\sin{(5x+7)}} \cdot \cos{(5x+7)} \cdot 5 =

=5 \frac{\cos{(5x+7)}}{\sin{(5x+7)}} = 5 \operatorname{ctg} (5x+7)

Давайте для наглядности покажем на картинке процесс работы с выражением:

Произ_Пр_15

Функция слева от стрелки внешняя, справа внутренняя. Количество стрелок равно количеству применений формулы для сложной функции.

[свернуть]

Пример 16

Найти производную функции y=2^{\operatorname{tg}e^{x^3}}

Решение:   Нарисуем такую же картинку, как и в предыдущем примере:

Произ_Пр_16

Имеем три стрелки, то есть формулу для сложной функции будем последовательно применять именно три раза. На каждом шаге функция слева от стрелки — внешняя, справа — внутренняя.

y'={\left ( 2^{\operatorname{tg}e^{x^3}} \right )}' \cdot {\left ( \operatorname{tg}e^{x^3} \right )}' =

={\left ( 2^{\operatorname{tg}e^{x^3}} \right )}' \cdot {\left ( \operatorname{tg}e^{x^3} \right )}' \cdot {\left ( e^{x^3} \right )}' =

= {\left ( 2^{\operatorname{tg}e^{x^3}} \right )}' \cdot {\left ( \operatorname{tg}e^{x^3} \right )}' \cdot {\left ( e^{x^3} \right )}' \cdot (x^3)' =

=2^{\operatorname{tg}e^{x^3}} \ln{2} \cdot \frac{1}{\cos^2{e^{x^3}}} \cdot e^{x^3} \cdot 3x^2 =

Ответ получился некрасивым, но это нестрашно, потому что задания придумывал сам 🙂 Здесь все производные мы высчитываем на последнем шаге, чтобы не запутаться. На практике же чаще всего будет удобнее это делать после каждого применения формулы (для внешних функций).

[свернуть]

В первое время будет нелишним рисовать на черновике картинки из примеров 15 и 16 (понятно, применительно к своей задаче). Далее разберем пару примеров на комбинирование правил дифференцирования и формулы дифференцирования сложной функции.

Пример 17

Найти производную функции y=\cos{(e^x)} \cdot e^{-x}

Решение:   Видим произведение, поэтому по формуле дифференцирования произведения функций запишем:

y'=(\cos{(e^x)} \cdot e^{-x})' = (\cos{(e^x)})' \cdot e^{-x} + (e^{-x})' \cdot \cos{(e^{-x})} =*

Обе полученные функции под знаком производной сложные, поэтому дифференцируем их по соответствующему правилу:

*=(\cos{(e^x)})' \cdot (e^x)' \cdot e^{-x} + (e^{-x})' \cdot (-x)' \cdot \cos{(e^{x})} =

=-\sin{(e^x)} \cdot e^x \cdot e^{-x} + e^{-x} \cdot (-1) \cdot \cos{(e^{x})} = -\sin{(e^x)} - e^{-x} \cos{(e^x)}

[свернуть]

Пример 18

Найти производную функции y=\frac{\ln{(7^x})}{\arcsin{\sqrt{x}}}

Решение:   Видим дробь, поэтому по формуле дифференцирования дробей запишем:

y'= \frac{(\ln{(7^x}))' \cdot \arcsin{\sqrt{x}} - (\arcsin{\sqrt{x}})' \cdot \ln{(7^x)}}{{\arcsin}^2{\sqrt{x}}} =*

Обе полученные функции под знаком производной сложные, поэтому дифференцируем их по соответствующему правилу:

*= \frac{(\ln{(7^x}))' \cdot (7^x)' \cdot \arcsin{\sqrt{x}} - (\arcsin{\sqrt{x}})' \cdot (\sqrt{x})' \cdot \ln{(7^x)}}{{\arcsin}^2{\sqrt{x}}} =

=\frac{\frac{1}{7^x} \cdot 7^x \cdot \ln{7} \cdot \arcsin{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \ln{(7^x)}}{{\arcsin}^2{\sqrt{x}}} =

=\frac{\ln{7}}{\arcsin{\sqrt{x}}} - \frac{\ln{7^x}}{2 \sqrt{1-x} \sqrt{x} {\arcsin}^2{\sqrt{x}}}

Опять получился не очень красивый ответ, но зато правильный 🙂

Здесь стоит заметить, что мы могли избавиться от дроби и перейти к произведению функций с помощью перенесения арксинуса в числитель (арксинус в этом случае получает степень -1).

[свернуть]

На этом всё, спасибо за внимание!




Добавить комментарий