Производная неявно заданной функции

В предыдущей статье был рассмотрен вопрос нахождения производной функции, заданной в явном виде, то есть y=f(x). Сейчас мы научимся находить производную от неявной функции.

Неявной называют функцию, заданную уравнением F(x,y)=0. То есть x и y связаны между собой, однако выразить отсюда y не представляется возможным. Как в этом случае будет находиться производная?

Алгоритм такой:

  1. Дифференцируем левую и правую часть по x, при этом y дифференцируем как сложную функцию от x (производная от y будет y').
  2. Решаем полученное уравнение относительно производной, то есть выражаем y'.

Стоит заметить, что на практике в правой части уравнения совсем необязательно будет именно 0. Там можем быть и некоторое выражение от x, y. Понятно, что это выражение можно без проблем перенести влево и получить уравнение вида F(x,y)=0.

Пример 1. Найти производную функции xy^3+x^2=1

Решение

Действуем строго по алгоритму — дифференцируем левую и правую часть уравнения:

(xy^3+x^2)'=(1)'

(xy^3)' + (x^2)'=0

x' \cdot y^3 + (y^3)' \cdot x + 2x=0

y^3 + 3y^2 y'x + 2x =0

Первая часть работы выполнена. Теперь выражаем отсюда y':

3y^2 y'x = -2x -y^3

y'= \frac{-2x -y^3}{3xy^2 } = -\frac{2x + y^3}{3xy^2 }

Всё, производная успешно найдена. В ответ запишем y'=-\frac{2x + y^3}{3xy^2 }

[свернуть]

Пример 2. Найти производную функции e^y + \cos{(x+y)}=0

Решение

Снова дифференцируем и не забываем, что y — сложная функция.

(e^y + \cos{(x+y)})'=(0)'

(e^y)'+( \cos{(x+y)})' =0

y'e^y - \sin{(x+y)} \cdot (x+y)' =0

y'e^y- \sin{(x+y)} \cdot (1+y')=0

Решаем уравнение относительно y':

y'e^y- \sin{(x+y)} - y' \sin{(x+y)}=0

y' (e^y - \sin{(x+y)}) = \sin{(x+y)}

y'= \frac{\sin{(x+y)}}{e^y - \sin{(x+y)}}

[свернуть]




Пример 3. Найти производную функции \operatorname{tg}(3x^2+y) = x+ \frac{1}{y}

Решение

( \operatorname{tg}(3x^2+y))' = { \left ( x+  \frac{1}{y} \right ) } '

\frac{(3x^2+y)'}{\cos^2{(3x^2+y)}} = x' + { \left ( \frac{1}{y} \right ) } '

\frac{6x+y'}{\cos^2{(3x^2+y)}} = 1 - \frac{y'}{y^2}

Теперь аккуратно выразим y':

\frac{6x}{\cos^2{(3x^2+y)}} + \frac{y'}{\cos^2{(3x^2+y)}} = 1 - \frac{y'}{y^2}

\frac{y'}{\cos^2{(3x^2+y)}} + \frac{y'}{y^2} = 1- \frac{6x}{\cos^2{(3x^2+y)}}

y' \left ( \frac{1}{\cos^2{(3x^2+y)}} + \frac{1}{y^2} \right ) = 1- \frac{6x}{\cos^2{(3x^2+y)}}

    \[y'= \frac{1- \frac{6x}{\cos^2{(3x^2+y)}}}{\frac{1}{\cos^2{(3x^2+y)}} + \frac{1}{y^2}}\]

[свернуть]

Пример 4. Найти производную функции x^y=y^x

Решение

Если продифференцировать левую и правую часть уравнения, то увидим, что получатся два выражения, производные от которые в таблице производных отсутствуют. Поступим следующим образом: прологарифмируем левую и правую часть, полагая, что x>0, y>0 и x \ne 1, y \ne 1.

\ln{(x^y)} = \ln{(y^x)}

Теперь по свойству логарифма получаем:

y \cdot \ln{x} = x \cdot \ln{y}

Всё, сейчас с дифференцированием проблем быть не должно — нужно просто найти производные от двух произведений по соответствующей формуле:

(y \cdot \ln{x} )' = (x \cdot \ln{y} )'

y' \cdot \ln{x} + (\ln{x})' \cdot y = x' \cdot \ln{y} + (\ln{y})' \cdot x

y' \ln{x} +\frac{y}{x} = \ln{y} + \frac{xy'}{y}

И выражаем y':

y' \ln{x} - \frac{xy'}{y} = \ln{y} - \frac{y}{x}

y' \left ( \ln{x} - \frac{x}{y} \right ) = \ln{y} - \frac{y}{x}

y'= \frac{\ln{y} - \frac{y}{x}}{\ln{x} - \frac{x}{y}} = \frac{y(x \ln{y} - y)}{x(y \ln{x} -x)}

[свернуть]

Помимо первой производной, у неявной функции можно найти производные высших порядков (то есть 2го, 3го, 4го и т.д.). Покажем на паре примеров как это делается.

Пример 5. Найти вторую производную y'' функции xy^3+x^2=1

Решение

Дифференцируем левую и правую часть уравнения:

(xy^3+x^2)'=(1)'

y^3 + 3y^2 y'x + 2x =0

Теперь выражаем отсюда y':

y'= \frac{-2x -y^3}{3xy^2 } = -\frac{2x + y^3}{3xy^2 }

Первая производная найдена, но нам нужна вторая. Поэтому дифференцируем еще раз исходное уравнение:

( y^3 + 3y^2 y'x + 2x ) '=(0)'

3y^2 y' + 3(y^2 y')' \cdot x + 3x' \cdot (y^2 y') +2 = 0

3y^2y' + 3x((y^2)' y' + (y')' y^2) + 3 y^2 y'  +2=0

6y^2 y' + 6xy(y')^2+3xy^2 y'' +2=0

Решаем уравнение относительно y'':

y''= -\frac{2+6y^2 y' + 6xy(y')^2}{3xy^2} = -\frac{2}{3xy^2} -\frac{6y^2 y'}{3xy^2} -\frac{6xy(y')^2}{3xy^2} =

= -\frac{2}{3xy^2} -\frac{2y'}{x} -\frac{2(y')^2}{y}

Осталось лишь избавиться в правой части от y', которое уже было найдено раньше. То есть вместо y' подставим -\frac{2x + y^3}{3xy^2 }:

y''=-\frac{2}{3xy^2} + \frac{4x+2y^3}{3x^2y^2} - \frac{2 (2x+y^3)^2}{y(3xy^2)^2}

Итак, вторая производная найдена. С ответом можно, конечно, попытаться поработать, сделать красивее, но мы этого делать не будем — лучше решим еще один пример 😉

[свернуть]

Пример 6. Найти третью производную y''' функции e^y+\sin{y}=x

Решение

Вновь имеем дело с неявно заданной функцией. Дифференцируем:

(e^y+\sin{y} )'=(x)'

y'e^y+y' \cos{y} =1

Отсюда y'= \frac{1}{e^y + \cos{y}}

Дифференцируем уравнение еще раз:

(y'e^y+y' \cos{y} )'=(1)'

y''e^y+ (y')^2e^y + y'' \cos{y} - (y')^2 \sin{y} =0

Выражаем y'':

y'' (e^y+ \cos{y}) = (y')^2 \sin{y} - (y')^2e^y

y''= \frac{(y')^2 ( \sin{y} - e^y )}{e^y+ \cos{y}}

Избавимся сразу от первой производной, используя равенство y'= \frac{1}{e^y + \cos{y}}.

y'' = \frac{ \sin{y} - e^y }{(e^y+ \cos{y} )^2}

И, наконец, третий раз дифференцируем уравнение (не просчитаться бы 🙂 ).

(y''e^y+ (y')^2 e^y + y'' \cos{y} - (y')^2 \sin{y} )'=(0)'

    \[y'''e^y + y''y'e^y + {\left (  (y')^2 \right )}' e^y + (y')^3 e^y + y''' \cos{y} - y'y'' \sin{y} - {\left (  (y')^2 \right )}' \sin{y} - (y')^2 \cos{y} =0\]

    \[y''' (e^y + \cos{y} ) = -y''y'e^y - {\left (  (y')^2 \right )}' e^y - (y')^3 e^y + y'y'' \sin{y} + {\left (  (y')^2 \right )}' \sin{y} + (y')^2 \cos{y}\]

y'''= \frac{ -y''y'e^y - {\left (  (y')^2 \right )}' e^y - (y')^3 e^y + y'y'' \sin{y} + {\left (  (y')^2 \right )}' \sin{y} + (y')^2 \cos{y}}{e^y + \cos{y}}

Мда, задачи я придумал, конечно… Предлагаю, если у Вас есть желание, самостоятельно окончательно расписать эту третью производную. Добавлю только, что {\left (  (y')^2 \right )}' = (y' \cdot y')'= y''y' + y''y'=2y'y''.

[свернуть]

На этом всё, принцип понятен. Тема несложная, если не связываться с производными высших порядков, а там нужно считать очень внимательно.

Удачи!




Добавить комментарий