Производная высших порядков

В этой статье познакомимся с понятием производной высшего порядка от функции одной переменной. Начнем с определения и рассмотрим несколько примеров. Будем исходить из того, что Вы уже не имеете проблем с вычислением первой производной.

Итак, пусть дана некоторая функция y=f(x), и пусть она имеет конечную производную первого порядка f'(x) в интервале (a,b), то есть f'(x) также является функцией на данном интервале. Если эта функция дифференцируема, то можно найти вторую производную исходной функции f(x). Обозначается следующим образом:

    \[f''=(f')' = {\left (  \frac{dy}{dx} \right )}' = \frac{d}{dx} \left ( \frac{dy}{dx}  \right ) = \frac{d^2 y}{dx^2}\]

То есть для нахождения второй производной достаточно продифференцировать первую производную.

Производные более высокого порядка (в случае их существования) функции y=f(x) задаются так:

f'''= \frac{d^3y}{dx^3}=y'''=(f'')',     f^{(4)} = \frac{d^4y}{dx^4} = y^{(4)} ={ \left (  f''' \right )}',     …,     f^{(n)} = \frac{d^ny}{dx^n} = y^{(n)} = { \left (  f^{(n-1)} \right )}'.

Таким образом, для вычисления производной n-го порядка от какой-то функции y=f(x) необходимо продифференцировать f(x) последовательно n раз. Переход к производной более высокого порядка осуществляем по формуле:

\boxed{ y^{(n)} = { \left (  y^{(n-1)} \right ) }' }

Покажем теперь на примерах процесс нахождения производных высших порядков.

Пример 1. Найти вторую производную y'' функции y=x^2.

Решение

Шаг первый. Находим y':

y'= {\left (  x^2 \right )}' = 2x

Шаг второй. Находим искомую y'', применив представленную выше формулу:

y''= (y')'=(2x)'=2

Ответ:   y''=2

[свернуть]




Пример 2. Найти третью производную y''' функции y=\cos{(3x+2)}.

Решение

Находим последовательно производные, не забывая, что имеем дело со сложной функцией (косинус зависит не просто от x, а от выражения 3x+2).

    \[y'= {\left ( \cos{(3x+2)} \right )}' = - \sin{(3x+2)} \cdot (3x+2)' = - \sin{(3x+2)} \cdot 3 = -3 \sin{(3x+2)}\]

y''=(y')'=(-3 \sin{(3x+2)})' = -3 \cos{(3x+2)} \cdot 3 = -9 \cos{(3x+2)}

y'''=(y'')'=(-9 \cos{(3x+2)})' = 9 \sin{(3x+2)} \cdot 3 =27 \sin{(3x+2)}

Ответ:   y'''= 27 \sin{(3x+2)}

[свернуть]

Пример 3. Найти с первой по третью производные от функции y=\arcsin{x}.

Решение

y'=(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

При нахождении второй производной избавимся от дроби.

    \[y''=(y')'= {\left (  \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right )}' = {\left (  {(1-x^2)}^{-\frac{1}{2}} \right )}' = -\frac{1}{2} \cdot {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}} \cdot (1-x^2)' = x {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}}\]

И работаем теперь с производной произведения.

    \[y'''= (y'')'= {\left ( x {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}} \right )}' = (x)' {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}} + {\left ( {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}} \right )}' x = {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}} -\frac{3}{2} x {(1-x^2)}^{-\frac{5}{2}} \cdot (1-x^2)' =\]

= {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}} +3 x^2 {(1-x^2)}^{-\frac{5}{2}}

[свернуть]

Пример 4. Найти десятую производную y^{(10)} функции y=e^x.

Решение

Чтобы дать ответ, необязательно находить последовательно с первой по десятую производные. Достаточно открыть таблицу производных и найти там производную от e^x,

(e^x)'=e^x.

Отсюда можем сделать следующий вывод:

e^x= (e^x)' = (e^x)'' = \cdots = {(e^x)}^{(10)} = \cdots.

Ответ:   y^{(10)} = e^x

[свернуть]

Пример 5. Найти третью производную y''' функции y=\frac{\ln{x}}{x}

Решение

Находим последовательное три производные. Не забываем, что перед нами дробь.

    \[y' = {\left (  \frac{\ln{x}}{x} \right )}' = \frac{(\ln{x})' x - x' \ln{x}}{x^2} = \frac{1-\ln{x}}{x^2}\]

    \[y''=(y')'= {\left ( \frac{1-\ln{x}}{x^2} \right )}' = \frac{(1-\ln{x})'x^2 - (x^2)'(1-\ln{x})}{x^4} = - \frac{x+2x(1-\ln{x})}{x^4} =\]

    \[=-\frac{3-2\ln{x}}{x^3} = \frac{2\ln{x} - 3}{x^3}\]

    \[y'''=(y'')'= {\left ( \frac{2\ln{x} - 3}{x^3} \right )}' = \frac{(2\ln{x} - 3)'x^3- (x^3)' (2\ln{x} - 3)}{x^6} = \frac{2x^2 - 3x^2 (2\ln{x} - 3)}{x^6} =\]

    \[= \frac{2-3(2\ln{x} - 3)}{x^4} = \frac{11-6\ln{x}}{x^4}\]

Ответ:   y'''= \frac{11-6\ln{x}}{x^4}

[свернуть]

Понятно, что сложности с этой темой могут возникнуть только в том случае, если у Вас западает техника нахождения производной. Вопрос нахождения производных высшего порядка от неявно и параметрически заданных функций читайте в следующих статьях:

На этом всё, удачи в освоении матана! 🙂




Добавить комментарий