Замечательные пределы

В этой статье будут рассмотрены первый и второй замечательные пределы. Мы дадим их определение и разберем на примерах случаи практического применения. Перед прочтением рекомендую сначала ознакомиться с предыдущей статьей о пределах.

Итак, замечательными пределами будем называть тождества вида:

%d0%b7%d0%b0%d0%bc%d0%b5%d1%87%d0%b0%d1%82%d0%b5%d0%bb%d1%8c%d0%bd%d1%8b%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%b5%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d1%8b

Первый замечательный предел

Как при решении конкретной задачи увидеть и использовать первый замечательный предел? Для этого нужно выяснить, стремится ли к нулю аргумент синуса. Понятно, что далеко не всегда синус будет зависеть именно от x. Чаще всего это будут некоторые выражения, но главное, чтобы они обращались в 0 при подстановке предельного значения x.

Пример 1. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{\sin{6x}}{x}\]

Решение:   При подстановке предельного значения x=0 получаем неопределенность вида \frac{0}{0}.  Очевидно, что аргумент синуса 6x стремится к нулю при x \to 0.

Таким образом, для использования первого замечательно предела нужно получить в знаменателе дроби в точности аргумент синуса 6x. Умножим числитель и знаменатель дроби на 6:

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{\sin{6x}}{x} = \lim_{x\to 0}  \left ( \frac{\sin{6x}}{x} \cdot \frac{6}{6} \right ) = 6 \cdot  \lim_{x\to 0}  \frac{\sin{6x}}{6x} = \cdots\]

Предел выражения  \frac{\sin{6x}}{6x}  при x \to 0 равен единице, в соответствии с первым замечательным пределом.

    \[\cdots = 6 \cdot 1 = 6\]

Ответ:   6

[свернуть]

Пример 2. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{{\operatorname{sin}}^2{(7x)}}{5x^2}\]

Решение:   Подставляем предельное значение x=0, получаем неопределенность вида \frac{0}{0}.

В числителе имеем квадрат синуса, аргумент которого 7x стремится к нулю. Следовательно, удобно будет воспользоваться первым замечательным пределом:

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{{\operatorname{sin}}^2{(7x)}}{5x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin{(7x)} \cdot \sin{(7x)}}{5 \cdot \frac{1}{7} \cdot 7x \cdot \frac{1}{7} \cdot 7x}  =\]

    \[= \frac{49}{5} \lim_{x\to 0} \left ( \frac{\sin{(7x)}}{7x} \cdot \frac{\sin{(7x)}}{7x} \right ) = \frac{49}{5} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{49}{5}\]

Ответ:   \frac{49}{5}

Здесь был дважды применен первый замечательный предел. Мы воспользовались тем фактом, что предел выражения  \frac{\sin{(7x)}}{7x}  равен 1 при x \to 0.

[свернуть]

Помимо стандартной формы записи первого замечательно предела, будет справедливо следующее равенство:

    \[\boxed { \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin{x}} = 1}\]

Рассмотрим пример с использованием данной  модификации.

Пример 3. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{x^2}{\sin{x^3}}\]

Решение:   При подстановке предельного значения x=0 получаем неопределенность вида \frac{0}{0}. Аргумент синуса x^3 стремится к нулю.

Для использования замечательного предела в числителе дроби x должен иметь третью степень. Добьемся этого, умножив числитель и знаменатель дроби на x:

    \[\lim_{x\to 0}  \left ( \frac{x^2}{\sin{x^3}} \cdot \frac{x}{x} \right ) = \lim_{x\to 0}  \left ( \frac{x^3}{\sin{x^3}} \cdot \frac{1}{x} \right ) = \cdots\]

Теперь, согласно первому замечательному пределу, вместо выражения  \frac{x^3}{\sin{x^3}}  можно просто написать 1:

    \[\cdots = \lim_{x\to 0} \left ( 1 \cdot \frac{1}{x} \right ) = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} = \frac{1}{0} = \infty\]

Ответ:   \infty

[свернуть]

Разберем теперь пару примеров, в которых отсутствует синус, но его возможно получить, прибегнув к различным формулам тригонометрии.

Пример 4. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{\operatorname{tg} x}{3x}\]

Решение:   При подстановке предельного значения x=0 получаем неопределенность вида \frac{0}{0}. Синуса не видно, однако, можно поступить следующим образом: запишем тангенс как отношение синуса к косинусу.

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{\operatorname{tg} x}{3x} = \lim_{x\to 0}  \frac{\sin{x}}{3x \cos{x}} = \cdots\]

Синус появился и аргумент его стремится к нулю — всё хорошо, можно применять первый замечательный предел:

    \[\cdots = \lim_{x\to 0} \left ( \frac{\sin{x}}{x} \cdot \frac{1}{3 \cos{x}} \right )= \lim_{x\to 0} \frac{1}{3 \cos{x}} = \frac{1}{3}\]

Ответ:   \frac{1}{3}

[свернуть]




Пример 5. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{1-\cos{5x}}{x^2}\]

Решение:   При подстановке предельного значения x=0 получаем неопределенность вида \frac{0}{0}. Синуса опять не видно. Как его получить, чтобы воспользоваться замечательным пределом? Предлагаю умножить и разделить дробь на 1+\cos{5x}:

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{1-\cos{5x}}{x^2} = \lim_{x\to 0}  \frac{\left ( 1-\cos{5x} \right ) \left ( 1+\cos{5x} \right ) }{x^2 \left ( 1+\cos{5x} \right ) } =\cdots\]

В числителе появилась формула разности квадратов a^2-b^2=(a-b)(a+b). У нас есть ее левая часть, то есть a=1, а b=\cos{5x}. Имеем:

    \[\cdots = \lim_{x\to 0}  \frac{1-\cos^2{5x}}{x^2 \left ( 1+\cos{5x} \right ) } =...\]

Синуса мы не получили, однако в числителе хорошо просматривается основное тригонометрическое тождество \sin^2{x} +\cos^2{5x} =1. Таким образом, вместо 1-\cos^2{5x} можем смело написать \sin^2{5x}:

    \[\cdots = \lim_{x\to 0}  \frac{\sin^2{5x}}{x^2 \left ( 1+\cos{5x} \right ) } =\]

    \[=\lim_{x\to 0} \left ( \frac{\sin{5x}}{5x} \cdot \frac{\sin{5x}}{5x} \cdot \frac{25}{1+\cos{5x}} \fight )=\]

    \[= \lim_{x\to 0} \frac{25}{1+\cos{5x}} = \frac{25}{1+1} = \frac{25}{2}\]

Ответ:   \frac{25}{2}

[свернуть]

И еще одна задача. Чтобы не было зацикливания на том, что обязательно x\to 0 🙂

Пример 6. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 3}  \left ( (4x-12) \operatorname{ctg}{(12-4x)} \right )\]

Решение:   При подстановке предельного значения x=3 получаем неопределенность вида 0 \cdot \infty.

Как видим, x не стремится к нулю, а вот выражение 12-4x стремится. Для решения такой задачи удобно ввести замену t=12-4x. При этом понятно, что t \to 0. Получаем:

    \[\lim_{t\to 0}  \left ( -t \cdot \operatorname{ctg}{t} \right ) = \cdots\]

Синуса нет, но его легко получить, расписав котангенс как отношение косинуса к синусу:

    \[\cdots = \lim_{t\to 0}  \left ( -t \cdot \frac{\cos{t}}{\sin{t}} \right ) =- \lim_{t\to 0}  \left ( \frac{t}{\sin{t}} \cdot \cos{t} \right ) =\]

    \[= -\lim_{t\to 0} \cos{t} =-1\]

Ответ:   -1

[свернуть]

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел служит для избавления от неопределенности вида 1^{\infty}. Таким образом, если при подстановке предельного значения x была получена неопределенность 1^{\infty}, то сразу понимаем, что предстоит работа именно со вторым замечательным пределом.

Пример 7. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to \infty}  {\left (1+\frac{1}{4x} \right ) }^{x}\]

Решение: Самое первое действие — подставляем предельное выражение x. При этом \frac{1}{4x} \to 0, а всё выражение представляет собой неопределенность 1^{\infty}.

Наша задача состоит в том, чтобы получить запись вида

    \[\lim_{x\to \infty}  {\left ( 1+\frac{1}{f(x)} \right ) }^{f(x)}\]

Умножим и разделим показатель степени на 4.

    \[\lim_{x\to \infty}  {\left (1+\frac{1}{4x} \right )}^{x} = \lim_{x\to \infty}  {\left ( {\left (1+\frac{1}{4x} \right )}^{4x} \right ) } ^{\frac{1}{4}} = \cdots\]

Видим выражение {\left (1+\frac{1}{4x} \right )}^{4x} — это второй замечательный предел, заменяем его на букву e.

    \[\cdots = \lim_{x\to \infty} e^{\frac{1}{4}} = e^{\frac{1}{4}}\]

Ответ:   e^{\frac{1}{4}}

[свернуть]

Замечание. e — это иррациональное, равное 2,71828..., то есть приблизительно e \approx 2,7.

Пример 8. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to \infty}  {\left (1+\frac{1-3x}{x^2} \right ) }^{5x}\]

Решение: При подстановке предельного значения x имеем неопределенность 1^{\infty}. Если с понимаем этого факта еще возникают сложности, читайте предыдущую статью о пределах.

В основании находится 1 + \frac{1-3x}{x^2}. Следовательно, в показателе степени должно оказаться выражение, обратное к \frac{1-3x}{x^2}, то есть \frac{x^2}{1-3x}. Чтобы ничего не изменилось, умножим и разделим показатель на \frac{x^2}{1-3x}.

    \[\lim_{x\to \infty}  {\left (1+\frac{1-3x}{x^2} \right ) }^{5x} = \lim_{x\to \infty}  {\left (1+\frac{1-3x}{x^2} \right ) }^{\frac{x^2}{1-3x} \cdot \frac{1-3x}{x^2} \cdot 5x} =\]

    \[= \lim_{x\to \infty} {\left ( {\left (1+\frac{1-3x}{x^2} \right ) }^{\frac{x^2}{1-3x} \right )}^{\frac{5x-15x^2}{x^2}} =\cdots\]

Теперь выражение {\left (1+\frac{1-3x}{x^2} \right ) }^{\frac{x^2}{1-3x} есть второй замечательный предел. Получаем:

    \[\cdots = \lim_{x\to \infty} e^{\frac{5x-15x^2}{x^2}}  =e^{\lim_{x\to \infty} \frac{5x-15x^2}{x^2} }= e^M= \cdots\]

Отдельно вычислим предел, обозначенный через M:

    \[\lim_{x\to \infty} \frac{5x-15x^2}{x^2} =\left ( \frac{\infty}{\infty} \right ) = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{5}{x}-15}{1} = -15\]

Возвращаемся к решению исходного предела:

    \[\cdots = e^{-15}\]

Ответ:   e^{-15}

[свернуть]

В обоих разобранных примерах основание степени изначально имело вид «единица плюс выражение от икс». Однако, чаще всего студенту нужно выделить эту единицу самостоятельно:

Пример 10. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to \infty} {\left ( \frac{x-5}{x+1} \right )}^{3x-7}\]

Решение:  При подстановке предельного значения x получаем {\left ( \frac{\infty}{\infty} \fight )}^{\infty}. Преобразуем основание степени, дробь, следующим образом:

    \[\lim_{x\to \infty} {\left ( \frac{x+1-6}{x+1} \right )}^{3x-7} = \lim_{x\to \infty} {\left ( \frac{1+x}{1+x} + \frac{-6}{x+1} \right )}^{3x-7} =\]

    \[=\lim_{x\to \infty} {\left ( 1 - \frac{6}{x+1} \right )}^{3x-7}= \cdots\]

Вновь мысленно подставляем предельное значение x — получаем нашу неопределенность 1^{\infty}.

    \[\cdots = \lim_{x\to \infty} {\left ( 1 + \left( \frac{1}{- \frac{x+1}{6}} \right ) \right )}^{ -\frac{x+1}{6} \cdot \frac{-6}{x+1} \cdot (3x-7)} =\]

    \[=\lim_{x\to \infty} e^{\frac{42-18x}{x+1}} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{42-18x}{x+1}} = e^{-18}\]

Ответ:   e^{-18}

[свернуть]

Рассмотрим самую популярную при решении практических задач модификацию второго замечательного предела:

    \[\boxed { \lim_{x\to 0} {\left ( 1+ x \right ) }^{\frac{1}{x}}= e}\]

Буквально пару дней назад встретил интересную задачу как раз для этой формулы:

Пример 11. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} {\left ( \operatorname{tg}{x} \right )}^{\frac{1}{\cos{2x}}}\]

Решение:  Икс не стремится ни к нулю, ни к бесконечности. Однако, при подстановке предельного значения x=\frac{\pi}{4} мы вновь видим неопределенность 1^{\infty}. Прибавим и отнимем в основании степени единицу:

    \[\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} {\left ( 1 + ( \operatorname{tg}{x} - 1) \right )}^{\frac{1}{\cos{2x}}}\]

Теперь в основании появилась единица плюс выражение от икс, стремящееся к нулю. Используем модификацию второго замечательного предела:

    \[\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} {\left ( 1 + ( \operatorname{tg}{x} - 1) \right )}^{ \frac{1}{\operatorname{tg}{x} - 1} \cdot \frac{\operatorname{tg}{x} - 1}{\cos{2x}}} = \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} e^{ \frac{\operatorname{tg}{x} - 1}{\cos{2x}}} =\]

    \[=e^{ \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}  \frac{\operatorname{tg}{x} - 1}{\cos{2x}}} = e^M=\cdots\]

    \[M= \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}  \frac{\operatorname{tg}{x} - 1}{\cos{2x}}\]

В результате получили новый предел, с которым тоже нужно как-то разобраться. При подставке x=\frac{\pi}{4} имеем неопределенность вида \left (  \frac{0}{0} \right ). Введем замену x=t+\frac{\pi}{4}. При этом понятно, что t \to 0.

    \[\lim_{t \to 0} \frac{\operatorname{tg} \left ( t+ \frac{\pi}{4} \right ) -1 }{\cos{\left ( 2t + \frac{\pi}{2} \right ) }}\]

Для тангенса применим формулу тангенса от суммы двух углов. Для косинуса применим формулу приведения.

    \[\lim_{t \to 0} \frac{\frac{\operatorname{tg} t + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1- \operatorname{tg} t \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}} -1 }{-\sin{2t}} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\operatorname{tg} t + 1}{1- \operatorname{tg} t } -1 }{-\sin{2t}} =\]

    \[=- \lim_{t \to 0} \frac{ 2\operatorname{tg} t}{\sin{2t} (1-\operatorname{tg} t)} = - \lim_{t \to 0} \frac{ 2 \sin{t}}{2\sin{t} \cos^2{t} (1-\operatorname{tg} t)} =\]

    \[= - \lim_{t \to 0} \frac{1}{\cos^2{t} (1-\operatorname{tg} t)} = - \frac{1}{1^2 \cdot (1-0)} = -1\]

Возвращаемся к исходному пределу:

    \[\cdots = e^{-1} = \frac{1}{e}\]

Ответ:   \frac{1}{e}

[свернуть]

На этом всё. Надеюсь, что статья была полезна.

Удачи в освоении пределов замечательных и не очень! 🙂




Добавить комментарий