Интегрирование с помощью замены. Примеры.

В этой статье мы познакомимся с введением замены при нахождении неопределенного интеграла, а также разберем метод занесения функции под знак дифференциала. Если с интегралами Вы сталкиваетесь впервые, то лучше сначала изучить предыдущую статью.

Начнем с конца. Будем вносить функцию под знак дифференциала. Это сделать проще.

    \[\int \cos{(4x-9)}dx\]

Найдем данный интеграл. Если посмотреть в таблицу интегралов, то там будет интеграл от \cos{x}. В нашем случае косинус зависит от 4x-9. Таблицей можно пользоваться лишь в том случае, когда это же самое выражение будет находиться под знаком дифференциала. Пробуем просто записать 4x-9 под дифференциал:

    \[d(4x-9)=(4x-9)'dx=4dx\]

Таким образом, чтобы при подведении 4x-9 под знак дифференциала ничего не изменилось, нужно умножить этот дифференциал на \frac{1}{4}. Будет:

    \[\frac{1}{4} d(4x-9) = \frac{1}{4} (4x-9)'dx = \frac{1}{4} \cdot 4dx=dx\]

Записываем получившийся интеграл (при этом константу для удобства сразу можно вынести):

    \[\int \cos{(4x-9)}dx = \frac{1}{4} \int \cos{(4x-9)}d(4x-9)=\cdots\]

А вот для этого интеграла уже смело можно воспользоваться таблицей:

    \[\cdots = \frac{1}{4} \sin{(4x+9)} +C\]

Итак, еще раз: таблицей интегралов можно пользоваться только тогда, когда аргумент интегрируемой функции совпадает с выражением, стоящим под знаком дифференциала.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл.

    \[\int \frac{dx}{8-7x}\]

Решение:   Смотрим в таблицу интегралов — там есть такая формула:

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

У нас в знаменателе вместо x находится 8-7x, поэтому занесем 8-7x под знак дифференциала:

    \[-\frac{1}{7} d(8-7x) = -\frac{1}{7} (8-7x)'dx=-\frac{1}{7} \cdot (-7)dx = dx\]

То есть необходимо произвести домножение на -\frac{1}{7}. Тогда интеграл будет записан следующим образом:

    \[\int \frac{dx}{8-7x} = -\frac{1}{7} \int \frac{d(8-7x)}{8-7x} = \cdots\]

Отсюда из таблицы интегралов имеем:

    \[\cdots = -\frac{1}{7} \ln{|8-7x|} +C\]

Ответ:   -\frac{1}{7} \ln{|8-7x|} +C

[свернуть]

Пример 2. Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку дифференцированием.

    \[\int xe^{x^2}dx\]

Решение:   Мы знаем чему равен интеграл от e^x. Но в нашем случае мало того, что мешается x, так еще и e не в той степени. Внесем x под знак дифференциала — убьём сразу двух зайцев 🙂

    \[\int xe^{x^2}dx = \int e^x^2 \cdot \frac{1}{2} d(x^2) =\]

    \[=\frac{1}{2} \int e^{x^2} d(x^2) = \frac{1}{2} e^{x^2} +C\]

Ответ:   \frac{1}{2} e^{x^2} +C

И выполним проверку:

    \[{\left ( \frac{1}{2} e^{x^2} +C \right )}'=\frac{1}{2} e^{x^2} (x^2)'+0=\frac{1}{2} e^{x^2} \cdot 2x = xe^{x^2}\]

Проверка выполнена, интеграл найден верно. Как уже говорилось в предыдущей статье, проверку стоит делать всегда, даже если в задаче это не требуется.

[свернуть]

В будущем, когда у Вас появится опыт в вычислении интегралов, занесение функции под знак дифференциала будет происходить быстро и в уме, без дополнительных записей. Но для избежания ошибок, рекомендую (опять же мысленно или где-то на черновике) раскрывать записанный дифференциал и проверять не забыта ли какая-то константа или знак.




Пример 3. Найти интеграл.

    \[\int \frac{dx}{\operatorname{tg}x}\]

Решение:   Представим тангенс как отношение синуса к косинусу:

    \[\int \frac{dx}{\operatorname{tg}x} =\int \frac{dx}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} = \int \frac{\cos{x} dx}{\sin{x}} =\]

Внесем \cos{x} под знак дифференциала:

    \[=\int \frac{d(\sin{x})}{\sin{x}}=\]

Всё, для этого интеграла применима таблица. Можем записать ответ:

    \[=\ln{|\sin{x}|}+C\]

Ответ:   \ln{|\sin{x}|}+C

[свернуть]

Этот метод обычно применяется для несложных интегралов, он помогает сократить запись решения. Кроме того, понимание механизма внесения функции под знак дифференциала нередко позволяет быстрее увидеть замену, которую нужно ввести, чтобы одолеть более сложный пример. Итак, переходим теперь к методу замены переменной.

Пример 4. Найти неопределенный интеграл.

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{6x-3}}\]

Решение:   Введем замену t=6x-3. Тогда по определению дифференциала dt=d(6x-3)=(6x-3)'dx=6dx, отсюда dx=\frac{dt}{6}. Оформляем:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{6x-3}}= \begin{bmatrix} 6x-3=t \\ 6dx=dt \\ dx=\frac{dt}{6} \end{bmatrix} = \int \frac{dt}{6 \sqrt{t}} =\]

После простейших преобразований этот интеграл становится табличным:

    \[= \frac{1}{6} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t^{1/2}} = \frac{1}{6} \int t^{-\frac{1}{2}} dt =\]

    \[= \frac{1}{6} \cdot 2t^{\frac{1}{2}} + C = \frac{\sqrt{t}}{3} +C =\]

Выполняем заключительный шаг, производим обратную замену:

    \[=\left [  t=6x-3 \right ] = \frac{\sqrt{6x-3}}{3} +C\]

Ответ:   \frac{\sqrt{3x-6}}{3} +C

[свернуть]

Пример 5. Найти неопределенный интеграл.

    \[\int \frac{{\operatorname{arctg}}^2 x}{1+x^2} dx\]

Решение:   Вводим замену t= \operatorname{arctg} x. Согласно определению дифференциала, имеем

    \[dt=d(\operatorname{arctg} x) = {\left ( \operatorname{arctg} x \right ) }'dx=\frac{dx}{1+x^2}\]

Заметим, что выражать dx, как в предыдущем примере, здесь не нужно — сразу заменяем \frac{dx}{1+x^2}=dt, а  \operatorname{arctg}}^2 x =t^2. Оформим:

    \[\int \frac{{\operatorname{arctg}}^2 x}{1+x^2} dx =\begin{bmatrix} \operatorname{arctg} x=t \\ \frac{dx}{1+x^2} = dt \end{bmatrix}= \int t^2dt = \frac{t^3}{3} + C =\]

    \[=[t=\operatorname{arctg} x] = \frac{{\operatorname{arctg}}^3 x}{3} +C\]

Ответ:   \frac{{\operatorname{arctg}}^3 x}{3} +C

[свернуть]

Пример 6. Найти неопределенный интеграл

    \[\int \frac{dx}{(x-3) \ln{(x-3)}}\]

Решение:   Вводим замену t= \ln{(x-3)}, тогда dt= \frac{dx}{x-3}. Записываем

    \[\int \frac{dx}{(x-3) \ln{(x-3)}} = \begin{bmatrix} \ln{(x-3)} =t \\ \frac{dx}{x-3} = dt \end{bmatrix} = \int \frac{dt}{t} =\]

    \[= \ln{|t|} + C= [t= \ln{(x-3)}] = \ln{ | \ln{(x-3)} |} +C\]

Ответ:   \ln{ | \ln{(x-3)} |} +C

[свернуть]

Если введение замены никак не упростило ваш интеграл, то либо замена выбрана неверно, либо этот интеграл вычисляется другим способом (например, по частям).  Рассмотрим далее еще пару примеров посложнее:

Пример 7. Найти интеграл, выполнить проверку.

    \[\int \frac{(5x+1) e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}}{\sqrt{5x^2+2x-15}} dx\]

Решение:   Вводим замену t=\sqrt{5x^2+2x-15}. Аккуратно разбираемся с дифференциалом:

    \[dt=d(\sqrt{5x^2+2x-15})= {\left (\sqrt{5x^2+2x-15} \right ) }'dx=\frac{1}{2\sqrt{5x^2+2x-15}} \cdot (5x^2+2x-15)'dx=\]

    \[=\frac{10x+2}{2\sqrt{5x^2+2x-15}} dx = \frac{2(5x+1)}{2\sqrt{5x^2+2x-15}} dx = \frac{5x+1}{\sqrt{5x^2+2x-15}} dx\]

Смотрите, как удачно получилось. Громоздкое выражение превратилось в dt, а e оказалось в степени t. Оформляем:

    \[\int \frac{(5x+1) e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}}{\sqrt{5x^2+2x-15}} dx = \begin{bmatrix} \sqrt{5x^2+2x-15} =t \\ \frac{(5x+1)dx}{\sqrt{5x^2+2x-15}} = dt \end{bmatrix} =\]

    \[= \int e^tdt=e^t+C=\]

И не забываем произвести обратную замену:

    \[=[t=\sqrt{5x^2+2x-15}] = e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}+C\]

Ответ:   e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}+C

Продифференцируем полученный ответ:

    \[{\left ( e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}+C \right ) }'} = e^{\sqrt{5x^2+2x-15}} \cdot {\left (\sqrt{5x^2+2x-15} \right ) }' =\]

    \[= \frac{e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}}{2\sqrt{5x^2+2x-15}} \cdot (5x^2+2x-15)' = \frac{(10x+2)e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}}{2\sqrt{5x^2+2x-15}} = \frac{(5x+1) e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}}{\sqrt{5x^2+2x-15}}\]

Итак, дифференцирование дало исходное подынтегральное выражение. Интеграл найден верно.

[свернуть]

Пример 8. Найти неопределенный интеграл.

    \[\int \frac{x^2dx}{(2x-1)^5}\]

Решение:   Вводим замену t=2x-1, откуда dt=2dx \Rightarrow dx=\frac{dt}{2}. Для того чтобы записать x^2, выразим из замены x:

    \[t=2x-1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}(t+1) \Rightarrow x^2= {\left ( \frac{1}{2}(t+1) \right )}^2 = \frac{1}{4} (t^2+2t+1)\]

То есть будем записывать

    \[\int \frac{x^2dx}{(2x-1)^5} = \begin{bmatrix} 2x-1 =t \\ dx=\frac{dt}{2} \\ x^2= \frac{1}{4} (t^2+2t+1) \end{bmatrix} = \int \frac{\frac{1}{4} (t^2+2t+1) \cdot \frac{dt}{2}}{t^5}\]

    \[= \frac{1}{8} \int \frac{t^2+2t+1}{t^5} dt = \frac{1}{8} \int \left ( \frac{t^2}{t^5} + \frac{2t}{t^5} + \frac{1}{t^5} \right ) dt =\]

    \[= \frac{1}{8} \int \left ( t^{-3} + 2t^{-4} + t^{-5} \right ) dt = \frac{1}{8} \left ( - \frac{t^{-2}}{2} - \frac{2t^{-3}}{3} - \frac{t^{-4}}{4} \right ) + C =\]

Производим обратную замену:

    \[= \frac{1}{8} \left ( - \frac{(2x-1)^{-2}}{2} - \frac{2(2x-1)^{-3}}{3} - \frac{(2x-1)^{-4}}{4} \right ) + C =\]

    \[=-\frac{1}{16(2x-1)^2} -\frac{1}{12(2x-1)^3} -\frac{1}{32(2x-1)^4} +C\]

Ответ:   -\frac{1}{16(2x-1)^2} -\frac{1}{12(2x-1)^3} -\frac{1}{32(2x-1)^4} +C

[свернуть]

И, напоследок, предлагаю в качестве закрепления найти первые интегралы, вычисленные внесением под знак дифференциала, с помощью введения замены.

 На этом всё, успехов в изучении высшей математики!




Добавить комментарий