Интегрирование по частям

Как выглядит формула интегрирования по частям? 

Если подынтегральное выражение (функция) может быть представлено в виде произведения двух непрерывных функций вместе со своей производной, то справедлива формула:

Формула интегрирования по частям

Доказательство формулы

Имеем две функции u(x) и v(x). Дифференциал их произведения записывается следующим образом:

    \[d(uv) = vdu + udv\]

Интегрируем левую и правую часть данного равенства:

    \[\int d(uv) = \int (vdu+udv)\]

    \[uv= \int vdu + \int udv\]

Теперь, если перенести \int vdu в другую часть равенства, то как раз и получим приведенную выше формулу:

    \[\int udv= uv - \int vdu\]

[свернуть]

Какие интегралы целесообразно брать по частям?

Выписать все интегралы, берущиеся по частям, невозможно. Однако на практике это обычно бывают интегралы вида:

1)   \int P_n(x)e^{ax+b}dx,  \int P_n(x) \cos{(ax+b)}dx,  \int P_n(x) \sin{{(ax+b)}}dx

Во всех трех случаях за u нужно принять P_n(x), а за dv — всё оставшееся (то есть e^{ax+b}dx, \cos{(ax+b)}dx и \sin{{(ax+b)}}dx соответственно).

2)   \int e^{ax} \sin{(bx+c)}dx,  \int e^{ax} \cos{(bx+c)}dx

Здесь за u можно принимать как e^{ax}, так и тригонометрическую функцию (дальше на примерах разберем этот момент).

3)   \int P_n(x) \ln{x} dx, \int P_n(x) \arcsin{x} dx,  \int P_n(x) \arccos{x} dx,  \int P_n(x) \operatorname{arctg} {x} dx,  \int P_n(x) \operatorname{arcctg} dx,

Для таких интегралов dv = P_n(x)dx, а u — всё оставшееся (логарифм или обратная тригонометрическая функция).

Обозначения:  P_n(x) — многочлен от x степени k;  a, b, c — некоторые константы.

И переходим к теперь к практике. Начнем с интегралов первого типа.

Пример 1. Найти интеграл  \int (x+1) e^{7x} dx

Решение:

Интегрирование по частямСмотрим на левую часть формулы. Необходимо взять какую-то часть подынтегрального выражения за u, а кукую-то за dv.
Это интеграл первого вида: имеем дело как раз с многочленом x+1, то есть P_n(x)=x+1, и степенью e^{7x}.
Поэтому предлагается выбрать в качестве u многочлен первой степени x+1, а в качестве dv оставшуюся часть подынтегрального выражения, то есть e^{7x}dx. Таким образом, u=x+1 и dv=e^{7x}dx.
интегрирование по частямСмотрим на правую часть формулы. Что нам здесь неизвестно? Неизвестными являются функция v и дифференциал функции u.
Дифференциал находим по формуле du=u'dx. То есть просто вычислим производную и умножим ее на dxu'={(x+1)}'=1;   du=1 \cdot dx=dx.
Чтобы найти функцию v, нужно проинтегрировать dv (тут константу при интегрировании не пишут!):

    \[v= \int e^{7x}dx = \frac{1}{7} \int e^{7x} d(7x) = \frac{1}{7} e^{7x}\]

Готово. Записываем теперь аккуратно правую часть формулы:

    \[\int (x+1) e^{7x} dx= (x+1) \cdot \frac{1}{7} e^{7x} - \int \frac{1}{7} e^{7x} dx = \cdots\]

Получили еще один интеграл, так и должно быть. Его можно либо найти отдельно, либо, если он несложный, продолжить решение:

    \[\cdots (x+1) \cdot \frac{1}{7} e^{7x} - \frac{1}{7} \int e^{7x} dx = \frac{1}{7} (x+1)e^{7x} - \frac{1}{49} \int e^{7x} d(7x) =\]

    \[= \frac{1}{7} (x+1)e^{7x} - \frac{1}{49} e^{7x} +C\]

Всё, интеграл найден. На последнем шаге не забываем прибавить константу.

В тетради интегрирование по частям обычно записывается следующим образом:

    \[\int (x+1) e^{7x} dx= \begin{vmatrix} u=x+1 & dv=e^{7x}dx \\ du=dx & v=\int e^{7x}dx= \frac{1}{7} e^{7x} \end{vmatrix} =\]

    \[= (x+1) \cdot \frac{1}{7} e^{7x} - \int \frac{1}{7} e^{7x} dx = \frac{1}{7} (x+1)e^{7x} - \frac{1}{49} \int e^{7x} d(7x) =  \frac{1}{7} (x+1)e^{7x} - \frac{1}{49} e^{7x} +C\]

[свернуть]

В процессе решения первого примера появлялись новые интегралы, которые были найдены с помощью внесения функции под знак дифференциала. Если эта тема у вас западает, освойте сначала предыдущую статью.

Пример 2. Найти интеграл \int x \cos{(x+2)} dx

Решение:

Это интеграл первого вида, поэтому возьмем  u=x, а  dv=\cos{(x+2)} dx. За u вновь принят многочлен, здесь это просто x. Находим du  и  v:

    \[du=u' \cdot dx=x' \cdot dx=1 \cdot dx = dx\]

    \[v= \int \cos{(x+2)} dx = \int \cos{(x+2)} d(x+2) = \sin{(x+2)}\]

После того как du и v получены, смотрим на правую часть формулы и внимательно записываем:

    \[\int x \cos{(x+2)} dx = x \sin{(x+2)} - \int \sin{(x+2)} dx =\]

Получен новый интеграл, который легко можно найти либо с помощью внесения функции под знак дифференциала, либо с помощью замены. Внесем под дифференциал аргумент синуса x+2:

    \[=  x \sin{(x+2)} - \int \sin{(x+2)} d(x+2) = x \sin{(x+2)} - (-\cos{(x+2)}) + C =\]

    \[=x \sin{(x+2)}  +\cos{(x+2)} + C\]

Готово. Еще один пример решен. Если вы сомневаетесь в правильности ответа, всегда можно осуществить проверку с помощью дифференцирования (должно получиться исходное подынтегральное выражение):

    \[{(x \sin{(x+2)}  +\cos{(x+2)} + C)}' = x' \sin{(x+2)} + {(\sin{(x+2)})}' x - \sin{(x+2)} \cdot {(x+2)}' +C'=\]

    \[=\sin{(x+2)}+x \cos{(x+2)} - \sin{(x+2)} + 0 = x \cos{(x+2)}\]

[свернуть]

В этих двух примерах многочлен был первой степени, поэтому формула интегрирования по частям применялась один раз. Если многочлен 2 степени, то придется применять ее уже дважды, и так далее. Рассмотрим еще пару интегралов первого вида.

Пример 3. Найти интеграл \int (x^2+3x+1) e^{-x} dx

Решение:

Рассматриваем подынтегральное выражение. Оно представляет собой произведения многочлена второй степени x^2+3x+1  на  e^{-x}. Возьмем u=x^2+3x+1  и  dv=e^{-x}dx. Тогда:

    \[du= u' \cdot dx = {(x^2+3x+1)}' \cdot dx = (2x+3)dx\]

    \[v= \int e^{-x} dx = - \int e^{-x} d(-x) = -e^{-x}\]

По формуле имеем:

    \[\int (x^2+3x+1) e^{-x} dx = (x^2+3x+1) \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(2x+3)dx =\]

    \[= -e^{-x} (x^2+3x+1) + \int (2x+3) e^{-x} dx = \cdots\]

Получили неопределенный интеграл, который снова нужно интегрировать по частям. Вычисляем его отдельно (оформим как в тетради):

    \[\int (2x+3) e^{-x} dx= \begin{vmatrix} u=2x+3 & dv=e^{-x} dx \\ du=2dx & v=\int e^{-x}dx= -e^{-x} \end{vmatrix} =\]

    \[= (2x+3) \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \cdot 2dx = -e^{-x} (2x+3) + 2 \int e^{-x} dx = -e^{-x} (2x+3) - 2e^{-x} +C\]

Возвращаемся к основному решению, записывая вместо интеграла \int (2x+3) e^{-x} dx полученный ответ -e^{-x} (2x+3) - 2e^{-x} +C:

\cdots = -e^{-x} (x^2+3x+1) + \left ( -e^{-x} (2x+3) - 2e^{-x} +C \right ) =

Почти готово, давайте еще раскроем скобки и вынесем -e^{-x}:

    \[=-e^{-x} (x^2+3x+1)  -e^{-x} (2x+3) - 2e^{-x} +C = -e^{-x} (x^2+3x+1+2x+3+2) +C = -e^{-x} (x^2+5x+6) +C\]

[свернуть]

Пример 4. Найти интеграл

Статья в разработке

Добавить комментарий