Архив рубрики: Высших порядков

Уравнения Эйлера

Линейные уравнения вида

a_0x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+ \cdots + a_{n-1}xy'+a_ny=0,          (1)

где всё a_i постоянные, называются уравнениями Эйлера. Эти уравнения заменой независимого переменного x=e^t преобразуются в линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:

b_0 y_t^{(n)}+b_1y_t^{(n-1)} + \cdots + b_{n-1}y'_t+b_ny(t)=0.           (2)

 Замечание 1. Уравнения вида

a_0{(ax+b)}^ny^{(n)}+a_1{(ax+b)}^{n-1}y^{(n-1)}+ \cdots + a_{n-1}(ax+b)y'+a_ny=0

также называются уравнениями Эйлера и сводятся к линейным однородным уравнениям с постоянными коэффициентами заменой переменных ax+b=e^t.

Замечание 2. Частные решения уравнения (1) можно сразу искать в виде y=x^k, при этом для k мы получаем уравнение, которое совпадает с характеристическим уравнением для уравнения (2).

Пример 1. Найти общее решение уравнения Эйлера x^2y''+2xy'-6y=0.

Решение:  Делаем в уравнении подстановку x=e^t, тогда

y'= \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = e^{-t} \frac{dy}{dt},

y''= \frac{dy'}{dx} = \frac{dy'/dt}{dx/dt} = \frac{(d^2y/dt^2-dy/dt)e^{-t}}{e^t} = e^{-2t} \left ( \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right ),

и уравнение примет вид

\frac{d^2y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} -6y=0.

 Корни характеристического уравнения {\lambda}_1=-3, {\lambda}_2=2, и общее решение уравнения будет y=C_1e^{-3t}+C_2e^{2t}. Но так как x=e^t, то

y=C_1x^{-3}+C_2x^2       или       y= \frac{C_1}{x^3}+C_2x^2.

Ответ:    y= \frac{C_1}{x^3}+C_2x^2.

Решим данный пример другим способом.

Решение:  Будем искать решение данного уравнения в виде y=x^k, где k — неизвестное число. Находим y'=kx^{k-1}, y''=k(k-1)x^{k-2}. Подставляя в уравнение, получаем

x^2k(k-1)x^{k-2}+2xkx^{k-1}-6x^k=0       или       x^k[k(k-1)+2k-6]=0.

Но так как x^k \equiv 0, то k(k-1)+2k-6=0 или k^2+k-6=0. Корни этого уравнения k_1=-3 и k_2=2. Им соответствует фундаментальная система решений y_1=x^{-3}, y_2=x^2, и общее решение по-прежнему будет

y=C_1x^{-3}+C_2x^2.

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Пусть дано дифференциальное уравнение

a_0 y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y= f(x)       (*)

с постоянными вещественными коэффициентами a_0, a_1, a_2, \cdots , a_n.

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Отыскание общего решения соответствующего однородного уравнения было показано ранее. Таким образом, задача интегрирования неоднородного уравнения сводится к нахождению частного решения y_{ch.n} (здесь должен быть «игрек», а внизу «ч.н.», но я сходу не нашел как использовать русские буквы в Latex 🙂 ) неоднородного уравнения. В общем случае интегрирование неоднородного уравнения может быть осуществлено методом вариации произвольных постоянных. Для правых частей специального вида частное решение находится проще, так называемым методом подбора. Общий вид правой части f(x) уравнения (*), при котором возможно применить метод подбора, следующий:

f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x) \cos{\beta x} +Q_m(x) \sin{\beta x}],

где P_l(x) и Q_m(x) суть многочлены степени l и m соответственно. В этом случае частное решение уравнения (*) ищется в виде

y_{ch.n}=x^s e^{\alpha x} [\tilde{P_k}(x) \cos{\beta x} + \tilde{Q_k} (x) \sin{\beta x}],

где k= \operatorname{max} (m,l), \tilde{P_k}(x) и \tilde{Q_k}(x) — многочлены от x k-й степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а s — кратность корня \lambda = \alpha + i \beta характеристического уравнения (если \alpha \pm i \beta не является корнем характеристического уравнения, то s=0). Читать далее

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

1) Уравнение вида y^{(n)} = f(x). После n-кратного интегрирования получается общее решение

y = \underbrace{ \int \cdots \int}_{n} f(x) \underbrace{ dx \cdots dx }_{n} +C_1 \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + C_2 \frac{x^{n-2}}{(n-2)!} + \cdots + C_{n-1} x +C_n

 2) Уравнения не содержит искомой функции и ее производных до порядка k-1 включительно:

F(x,y^{(k)}, y^{(k+1)}, \cdots , y^{(n)}) =0

Порядок такого уравнения можно понизить на k единиц заменой y^{(k)} (x)=p(x). Тогда уравнение примет вид

F(x,p,p', \cdots , p^{(n-k)}) =0

Из последнего уравнения, если это возможно, находим p= f(x, C_1 , C_2 , \cdots , C_{n-k}), а затем определяем y из уравнения y^{(k)} = f(x, C_1 , C_2 , \cdots , C_{n-k})  k-кратным интегрированием.

3) Уравнение не содержит независимого переменного:

F(y,y' , y'' , \cdots , y^{(n)}) =0

Подстановка y' =p позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом p рассматривается как новая функция от y:  p=p(y). Все производные y' , y'' , \cdots , y^{(n)} выражаются через производные от новой неизвестной функции p по y:

y' = \frac{dy}{dx} = p,

y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy},

y''' = \frac{d}{dx} \left ( p \frac{dp}{dy} \right ) = \frac{d}{dy} \left ( \frac{dp}{dy} \right )  \frac{dy}{dx} = p^2  \frac{d^2 p}{dy^2} + p {\left ( \frac{dp}{dy} \right )}^2  и так далее.

 Подставив эти выражения вместо y',y'', \cdots , y^{(n)} в уравнение, получим дифференциальное уравнение (n-1)-го порядка.

4) Уравнение F(x,y,y', \cdots , y^{(n)}) =0, однородное относительно аргументов y,y',y'', \cdots ,y^{(n)}, то есть F(x,ty,ty', \cdots , ty^{(n)}) = t^k F(x,y, y', \cdots , y^{(n)}).

Порядок такого уравнения может быть понижен на единицу подстановкой y=e^{\int z dx}, где z — новая неизвестная функция от x: z=z(x).

5) Уравнение, записанное в дифференциалах, F(x,y,dx,dy,d^2 y, \cdots , d^{(n)} y) =0, в котором функция F однородная относительно своих аргументов x,y,dx,dy, d^2 y, \cdots , d^n y, если считать x и dx — первого измерения, а y, dy, d^2y и так далее — измерения m. Тогда \frac{dy}{dx} будет иметь измерение m-1, \frac{d^2y}{dx^2} — измерение m-2 и так далее.

Для понижения порядка применяется подстановка x=e^t, y=ue^{mt}. В результате получается дифференциальное уравнение между u и t, не содержащее явно t, то есть допускающее понижение порядка на единицу (случай 3). Читать далее

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение

a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)} + \cdots + a_ny=0,

где a_0,a_1, \cdots , a_n — вещественные постоянные, a_0 \ne 0.

Для нахождения общего решения данного уравнения поступаем так.

Составляем характеристическое уравнение:

a_0{\lambda}^{(n)}+a_1{\lambda}^{(n-1)} + \cdots + a_n=0.

Пусть {\lambda}_1, {\lambda}_2 , \cdots , {\lambda}_n корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные.

Возможны следующие случаи:

 а) {\lambda}_1, {\lambda}_2 , \cdots , {\lambda}_n — вещественные и различные.

Тогда общим решением однородного уравнения будет

y_{o.o} =C_1e^{{\lambda}_1 x} +C_2e^{{\lambda}_2 x} + \cdots + C_ne^{{\lambda}_n x};

б) корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные. Пусть, например, {\lambda}_1={\lambda}_2= \cdots = {\lambda}_k = \tilde{{\lambda}}, то есть \tilde{{\lambda}} является k-кратным корнем, а все остальные n-k корней различные. Общее решение в этом случае имеет вид

y_{o.o}=C_1e^{\tilde{{\lambda}}x} + C_2 x e^{\tilde{{\lambda}}x} +C_3 x^2 e^{\tilde{{\lambda}}x} + \cdots + C_k x^{k-1} e^{\tilde{{\lambda}}} +

+C_{k+1} e^{{\lambda}_{k+1}x} + \cdots + C_n e^{{\lambda}_n x};

в) среди корней характеристического уравнения есть комплексные.

 Пусть для определенности {\lambda}_1=\alpha +i \beta, {\lambda}_2 = \alpha - i \beta, а остальные корни вещественные (комплексные корни являются попарно сопряженными). Тогда общее решение имеет вид

y_{o.o}= C_1 e^{\alpha x} \cos{\beta x} +C_2 e^{\alpha x} \sin{\beta x} +C_3 e^{{\lambda}_3 x} + \cdots + C_n e^{{\lambda}_n x};

г) в случае, если {\lambda}_1 = \alpha + i \beta является k-кратным корнем, то  {\lambda}_2 = \alpha - i \beta также будет k-кратным корнем, и общее решение будет иметь вид

y_{o.o} = C_1 e^{\alpha x} \cos{\beta x} +C_2 e^{\alpha x} \sin{\beta x} +C_3 xe^{\alpha x} \cos{\beta x} +

+C_4xe^{\alpha x} \sin{\beta x} + \cdots + C_{2k-1} x^{k-1} e^{\alpha x} \cos{\beta x} +

+C_{2k} x^{k-1} e^{\alpha x} \sin{\beta x} + C_{2k+1} e^{{\lambda}_{2k+1}x} + \cdots + C_n e^{{\lambda}_n x}.

  Читать далее