Архив рубрики: Математический анализ

Интегрирование по частям

Как выглядит формула интегрирования по частям? 

Если подынтегральное выражение (функция) может быть представлено в виде произведения двух непрерывных функций вместе со своей производной, то справедлива формула:

Формула интегрирования по частям

Доказательство формулы

Имеем две функции u(x) и v(x). Дифференциал их произведения записывается следующим образом:

    \[d(uv) = vdu + udv\]

Интегрируем левую и правую часть данного равенства:

    \[\int d(uv) = \int (vdu+udv)\]

    \[uv= \int vdu + \int udv\]

Теперь, если перенести \int vdu в другую часть равенства, то как раз и получим приведенную выше формулу:

    \[\int udv= uv - \int vdu\]

[свернуть]

Какие интегралы целесообразно брать по частям?

Выписать все интегралы, берущиеся по частям, невозможно. Однако на практике это обычно бывают интегралы вида:

1)   \int P_n(x)e^{ax+b}dx,  \int P_n(x) \cos{(ax+b)}dx,  \int P_n(x) \sin{{(ax+b)}}dx

Во всех трех случаях за u нужно принять P_n(x), а за dv — всё оставшееся (то есть e^{ax+b}dx, \cos{(ax+b)}dx и \sin{{(ax+b)}}dx соответственно).

2)   \int e^{ax} \sin{(bx+c)}dx,  \int e^{ax} \cos{(bx+c)}dx

Здесь за u можно принимать как e^{ax}, так и тригонометрическую функцию (дальше на примерах разберем этот момент).

3)   \int P_n(x) \ln{x} dx, \int P_n(x) \arcsin{x} dx,  \int P_n(x) \arccos{x} dx,  \int P_n(x) \operatorname{arctg} {x} dx,  \int P_n(x) \operatorname{arcctg} dx,

Для таких интегралов dv = P_n(x)dx, а u — всё оставшееся (логарифм или обратная тригонометрическая функция).

Обозначения:  P_n(x) — многочлен от x степени k;  a, b, c — некоторые константы.

И переходим к теперь к практике. Начнем с интегралов первого типа.

Пример 1. Найти интеграл  \int (x+1) e^{7x} dx

Решение:

Интегрирование по частямСмотрим на левую часть формулы. Необходимо взять какую-то часть подынтегрального выражения за u, а кукую-то за dv.
Это интеграл первого вида: имеем дело как раз с многочленом x+1, то есть P_n(x)=x+1, и степенью e^{7x}.
Поэтому предлагается выбрать в качестве u многочлен первой степени x+1, а в качестве dv оставшуюся часть подынтегрального выражения, то есть e^{7x}dx. Таким образом, u=x+1 и dv=e^{7x}dx.
интегрирование по частямСмотрим на правую часть формулы. Что нам здесь неизвестно? Неизвестными являются функция v и дифференциал функции u.
Дифференциал находим по формуле du=u'dx. То есть просто вычислим производную и умножим ее на dxu'={(x+1)}'=1;   du=1 \cdot dx=dx.
Чтобы найти функцию v, нужно проинтегрировать dv (тут константу при интегрировании не пишут!):

    \[v= \int e^{7x}dx = \frac{1}{7} \int e^{7x} d(7x) = \frac{1}{7} e^{7x}\]

Готово. Записываем теперь аккуратно правую часть формулы:

    \[\int (x+1) e^{7x} dx= (x+1) \cdot \frac{1}{7} e^{7x} - \int \frac{1}{7} e^{7x} dx = \cdots\]

Получили еще один интеграл, так и должно быть. Его можно либо найти отдельно, либо, если он несложный, продолжить решение:

    \[\cdots (x+1) \cdot \frac{1}{7} e^{7x} - \frac{1}{7} \int e^{7x} dx = \frac{1}{7} (x+1)e^{7x} - \frac{1}{49} \int e^{7x} d(7x) =\]

    \[= \frac{1}{7} (x+1)e^{7x} - \frac{1}{49} e^{7x} +C\]

Всё, интеграл найден. На последнем шаге не забываем прибавить константу.

В тетради интегрирование по частям обычно записывается следующим образом:

    \[\int (x+1) e^{7x} dx= \begin{vmatrix} u=x+1 & dv=e^{7x}dx \\ du=dx & v=\int e^{7x}dx= \frac{1}{7} e^{7x} \end{vmatrix} =\]

    \[= (x+1) \cdot \frac{1}{7} e^{7x} - \int \frac{1}{7} e^{7x} dx = \frac{1}{7} (x+1)e^{7x} - \frac{1}{49} \int e^{7x} d(7x) =  \frac{1}{7} (x+1)e^{7x} - \frac{1}{49} e^{7x} +C\]

[свернуть]

В процессе решения первого примера появлялись новые интегралы, которые были найдены с помощью внесения функции под знак дифференциала. Если эта тема у вас западает, освойте сначала предыдущую статью.

Пример 2. Найти интеграл \int x \cos{(x+2)} dx

Решение:

Это интеграл первого вида, поэтому возьмем  u=x, а  dv=\cos{(x+2)} dx. За u вновь принят многочлен, здесь это просто x. Находим du  и  v:

    \[du=u' \cdot dx=x' \cdot dx=1 \cdot dx = dx\]

    \[v= \int \cos{(x+2)} dx = \int \cos{(x+2)} d(x+2) = \sin{(x+2)}\]

После того как du и v получены, смотрим на правую часть формулы и внимательно записываем:

    \[\int x \cos{(x+2)} dx = x \sin{(x+2)} - \int \sin{(x+2)} dx =\]

Получен новый интеграл, который легко можно найти либо с помощью внесения функции под знак дифференциала, либо с помощью замены. Внесем под дифференциал аргумент синуса x+2:

    \[=  x \sin{(x+2)} - \int \sin{(x+2)} d(x+2) = x \sin{(x+2)} - (-\cos{(x+2)}) + C =\]

    \[=x \sin{(x+2)}  +\cos{(x+2)} + C\]

Готово. Еще один пример решен. Если вы сомневаетесь в правильности ответа, всегда можно осуществить проверку с помощью дифференцирования (должно получиться исходное подынтегральное выражение):

    \[{(x \sin{(x+2)}  +\cos{(x+2)} + C)}' = x' \sin{(x+2)} + {(\sin{(x+2)})}' x - \sin{(x+2)} \cdot {(x+2)}' +C'=\]

    \[=\sin{(x+2)}+x \cos{(x+2)} - \sin{(x+2)} + 0 = x \cos{(x+2)}\]

[свернуть]

В этих двух примерах многочлен был первой степени, поэтому формула интегрирования по частям применялась один раз. Если многочлен 2 степени, то придется применять ее уже дважды, и так далее. Рассмотрим еще пару интегралов первого вида.

Пример 3. Найти интеграл \int (x^2+3x+1) e^{-x} dx

Решение:

Рассматриваем подынтегральное выражение. Оно представляет собой произведения многочлена второй степени x^2+3x+1  на  e^{-x}. Возьмем u=x^2+3x+1  и  dv=e^{-x}dx. Тогда:

    \[du= u' \cdot dx = {(x^2+3x+1)}' \cdot dx = (2x+3)dx\]

    \[v= \int e^{-x} dx = - \int e^{-x} d(-x) = -e^{-x}\]

По формуле имеем:

    \[\int (x^2+3x+1) e^{-x} dx = (x^2+3x+1) \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(2x+3)dx =\]

    \[= -e^{-x} (x^2+3x+1) + \int (2x+3) e^{-x} dx = \cdots\]

Получили неопределенный интеграл, который снова нужно интегрировать по частям. Вычисляем его отдельно (оформим как в тетради):

    \[\int (2x+3) e^{-x} dx= \begin{vmatrix} u=2x+3 & dv=e^{-x} dx \\ du=2dx & v=\int e^{-x}dx= -e^{-x} \end{vmatrix} =\]

    \[= (2x+3) \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \cdot 2dx = -e^{-x} (2x+3) + 2 \int e^{-x} dx = -e^{-x} (2x+3) - 2e^{-x} +C\]

Возвращаемся к основному решению, записывая вместо интеграла \int (2x+3) e^{-x} dx полученный ответ -e^{-x} (2x+3) - 2e^{-x} +C:

\cdots = -e^{-x} (x^2+3x+1) + \left ( -e^{-x} (2x+3) - 2e^{-x} +C \right ) =

Почти готово, давайте еще раскроем скобки и вынесем -e^{-x}:

    \[=-e^{-x} (x^2+3x+1)  -e^{-x} (2x+3) - 2e^{-x} +C = -e^{-x} (x^2+3x+1+2x+3+2) +C = -e^{-x} (x^2+5x+6) +C\]

[свернуть]

Пример 4. Найти интеграл

Статья в разработке

Интегрирование с помощью замены. Примеры.

В этой статье мы познакомимся с введением замены при нахождении неопределенного интеграла, а также разберем метод занесения функции под знак дифференциала. Если с интегралами Вы сталкиваетесь впервые, то лучше сначала изучить предыдущую статью.

Начнем с конца. Будем вносить функцию под знак дифференциала. Это сделать проще.

    \[\int \cos{(4x-9)}dx\]

Найдем данный интеграл. Если посмотреть в таблицу интегралов, то там будет интеграл от \cos{x}. В нашем случае косинус зависит от 4x-9. Таблицей можно пользоваться лишь в том случае, когда это же самое выражение будет находиться под знаком дифференциала. Пробуем просто записать 4x-9 под дифференциал:

    \[d(4x-9)=(4x-9)'dx=4dx\]

Таким образом, чтобы при подведении 4x-9 под знак дифференциала ничего не изменилось, нужно умножить этот дифференциал на \frac{1}{4}. Будет:

    \[\frac{1}{4} d(4x-9) = \frac{1}{4} (4x-9)'dx = \frac{1}{4} \cdot 4dx=dx\]

Записываем получившийся интеграл (при этом константу для удобства сразу можно вынести):

    \[\int \cos{(4x-9)}dx = \frac{1}{4} \int \cos{(4x-9)}d(4x-9)=\cdots\]

А вот для этого интеграла уже смело можно воспользоваться таблицей:

    \[\cdots = \frac{1}{4} \sin{(4x+9)} +C\]

Итак, еще раз: таблицей интегралов можно пользоваться только тогда, когда аргумент интегрируемой функции совпадает с выражением, стоящим под знаком дифференциала.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл.

    \[\int \frac{dx}{8-7x}\]

Решение:   Смотрим в таблицу интегралов — там есть такая формула:

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

У нас в знаменателе вместо x находится 8-7x, поэтому занесем 8-7x под знак дифференциала:

    \[-\frac{1}{7} d(8-7x) = -\frac{1}{7} (8-7x)'dx=-\frac{1}{7} \cdot (-7)dx = dx\]

То есть необходимо произвести домножение на -\frac{1}{7}. Тогда интеграл будет записан следующим образом:

    \[\int \frac{dx}{8-7x} = -\frac{1}{7} \int \frac{d(8-7x)}{8-7x} = \cdots\]

Отсюда из таблицы интегралов имеем:

    \[\cdots = -\frac{1}{7} \ln{|8-7x|} +C\]

Ответ:   -\frac{1}{7} \ln{|8-7x|} +C

[свернуть]

Пример 2. Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку дифференцированием.

    \[\int xe^{x^2}dx\]

Решение:   Мы знаем чему равен интеграл от e^x. Но в нашем случае мало того, что мешается x, так еще и e не в той степени. Внесем x под знак дифференциала — убьём сразу двух зайцев 🙂

    \[\int xe^{x^2}dx = \int e^x^2 \cdot \frac{1}{2} d(x^2) =\]

    \[=\frac{1}{2} \int e^{x^2} d(x^2) = \frac{1}{2} e^{x^2} +C\]

Ответ:   \frac{1}{2} e^{x^2} +C

И выполним проверку:

    \[{\left ( \frac{1}{2} e^{x^2} +C \right )}'=\frac{1}{2} e^{x^2} (x^2)'+0=\frac{1}{2} e^{x^2} \cdot 2x = xe^{x^2}\]

Проверка выполнена, интеграл найден верно. Как уже говорилось в предыдущей статье, проверку стоит делать всегда, даже если в задаче это не требуется.

[свернуть]

В будущем, когда у Вас появится опыт в вычислении интегралов, занесение функции под знак дифференциала будет происходить быстро и в уме, без дополнительных записей. Но для избежания ошибок, рекомендую (опять же мысленно или где-то на черновике) раскрывать записанный дифференциал и проверять не забыта ли какая-то константа или знак.




Пример 3. Найти интеграл.

    \[\int \frac{dx}{\operatorname{tg}x}\]

Решение:   Представим тангенс как отношение синуса к косинусу:

    \[\int \frac{dx}{\operatorname{tg}x} =\int \frac{dx}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} = \int \frac{\cos{x} dx}{\sin{x}} =\]

Внесем \cos{x} под знак дифференциала:

    \[=\int \frac{d(\sin{x})}{\sin{x}}=\]

Всё, для этого интеграла применима таблица. Можем записать ответ:

    \[=\ln{|\sin{x}|}+C\]

Ответ:   \ln{|\sin{x}|}+C

[свернуть]

Этот метод обычно применяется для несложных интегралов, он помогает сократить запись решения. Кроме того, понимание механизма внесения функции под знак дифференциала нередко позволяет быстрее увидеть замену, которую нужно ввести, чтобы одолеть более сложный пример. Итак, переходим теперь к методу замены переменной.

Пример 4. Найти неопределенный интеграл.

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{6x-3}}\]

Решение:   Введем замену t=6x-3. Тогда по определению дифференциала dt=d(6x-3)=(6x-3)'dx=6dx, отсюда dx=\frac{dt}{6}. Оформляем:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{6x-3}}= \begin{bmatrix} 6x-3=t \\ 6dx=dt \\ dx=\frac{dt}{6} \end{bmatrix} = \int \frac{dt}{6 \sqrt{t}} =\]

После простейших преобразований этот интеграл становится табличным:

    \[= \frac{1}{6} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t^{1/2}} = \frac{1}{6} \int t^{-\frac{1}{2}} dt =\]

    \[= \frac{1}{6} \cdot 2t^{\frac{1}{2}} + C = \frac{\sqrt{t}}{3} +C =\]

Выполняем заключительный шаг, производим обратную замену:

    \[=\left [  t=6x-3 \right ] = \frac{\sqrt{6x-3}}{3} +C\]

Ответ:   \frac{\sqrt{3x-6}}{3} +C

[свернуть]

Пример 5. Найти неопределенный интеграл.

    \[\int \frac{{\operatorname{arctg}}^2 x}{1+x^2} dx\]

Решение:   Вводим замену t= \operatorname{arctg} x. Согласно определению дифференциала, имеем

    \[dt=d(\operatorname{arctg} x) = {\left ( \operatorname{arctg} x \right ) }'dx=\frac{dx}{1+x^2}\]

Заметим, что выражать dx, как в предыдущем примере, здесь не нужно — сразу заменяем \frac{dx}{1+x^2}=dt, а  \operatorname{arctg}}^2 x =t^2. Оформим:

    \[\int \frac{{\operatorname{arctg}}^2 x}{1+x^2} dx =\begin{bmatrix} \operatorname{arctg} x=t \\ \frac{dx}{1+x^2} = dt \end{bmatrix}= \int t^2dt = \frac{t^3}{3} + C =\]

    \[=[t=\operatorname{arctg} x] = \frac{{\operatorname{arctg}}^3 x}{3} +C\]

Ответ:   \frac{{\operatorname{arctg}}^3 x}{3} +C

[свернуть]

Пример 6. Найти неопределенный интеграл

    \[\int \frac{dx}{(x-3) \ln{(x-3)}}\]

Решение:   Вводим замену t= \ln{(x-3)}, тогда dt= \frac{dx}{x-3}. Записываем

    \[\int \frac{dx}{(x-3) \ln{(x-3)}} = \begin{bmatrix} \ln{(x-3)} =t \\ \frac{dx}{x-3} = dt \end{bmatrix} = \int \frac{dt}{t} =\]

    \[= \ln{|t|} + C= [t= \ln{(x-3)}] = \ln{ | \ln{(x-3)} |} +C\]

Ответ:   \ln{ | \ln{(x-3)} |} +C

[свернуть]

Если введение замены никак не упростило ваш интеграл, то либо замена выбрана неверно, либо этот интеграл вычисляется другим способом (например, по частям).  Рассмотрим далее еще пару примеров посложнее:

Пример 7. Найти интеграл, выполнить проверку.

    \[\int \frac{(5x+1) e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}}{\sqrt{5x^2+2x-15}} dx\]

Решение:   Вводим замену t=\sqrt{5x^2+2x-15}. Аккуратно разбираемся с дифференциалом:

    \[dt=d(\sqrt{5x^2+2x-15})= {\left (\sqrt{5x^2+2x-15} \right ) }'dx=\frac{1}{2\sqrt{5x^2+2x-15}} \cdot (5x^2+2x-15)'dx=\]

    \[=\frac{10x+2}{2\sqrt{5x^2+2x-15}} dx = \frac{2(5x+1)}{2\sqrt{5x^2+2x-15}} dx = \frac{5x+1}{\sqrt{5x^2+2x-15}} dx\]

Смотрите, как удачно получилось. Громоздкое выражение превратилось в dt, а e оказалось в степени t. Оформляем:

    \[\int \frac{(5x+1) e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}}{\sqrt{5x^2+2x-15}} dx = \begin{bmatrix} \sqrt{5x^2+2x-15} =t \\ \frac{(5x+1)dx}{\sqrt{5x^2+2x-15}} = dt \end{bmatrix} =\]

    \[= \int e^tdt=e^t+C=\]

И не забываем произвести обратную замену:

    \[=[t=\sqrt{5x^2+2x-15}] = e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}+C\]

Ответ:   e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}+C

Продифференцируем полученный ответ:

    \[{\left ( e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}+C \right ) }'} = e^{\sqrt{5x^2+2x-15}} \cdot {\left (\sqrt{5x^2+2x-15} \right ) }' =\]

    \[= \frac{e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}}{2\sqrt{5x^2+2x-15}} \cdot (5x^2+2x-15)' = \frac{(10x+2)e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}}{2\sqrt{5x^2+2x-15}} = \frac{(5x+1) e^{\sqrt{5x^2+2x-15}}}{\sqrt{5x^2+2x-15}}\]

Итак, дифференцирование дало исходное подынтегральное выражение. Интеграл найден верно.

[свернуть]

Пример 8. Найти неопределенный интеграл.

    \[\int \frac{x^2dx}{(2x-1)^5}\]

Решение:   Вводим замену t=2x-1, откуда dt=2dx \Rightarrow dx=\frac{dt}{2}. Для того чтобы записать x^2, выразим из замены x:

    \[t=2x-1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}(t+1) \Rightarrow x^2= {\left ( \frac{1}{2}(t+1) \right )}^2 = \frac{1}{4} (t^2+2t+1)\]

То есть будем записывать

    \[\int \frac{x^2dx}{(2x-1)^5} = \begin{bmatrix} 2x-1 =t \\ dx=\frac{dt}{2} \\ x^2= \frac{1}{4} (t^2+2t+1) \end{bmatrix} = \int \frac{\frac{1}{4} (t^2+2t+1) \cdot \frac{dt}{2}}{t^5}\]

    \[= \frac{1}{8} \int \frac{t^2+2t+1}{t^5} dt = \frac{1}{8} \int \left ( \frac{t^2}{t^5} + \frac{2t}{t^5} + \frac{1}{t^5} \right ) dt =\]

    \[= \frac{1}{8} \int \left ( t^{-3} + 2t^{-4} + t^{-5} \right ) dt = \frac{1}{8} \left ( - \frac{t^{-2}}{2} - \frac{2t^{-3}}{3} - \frac{t^{-4}}{4} \right ) + C =\]

Производим обратную замену:

    \[= \frac{1}{8} \left ( - \frac{(2x-1)^{-2}}{2} - \frac{2(2x-1)^{-3}}{3} - \frac{(2x-1)^{-4}}{4} \right ) + C =\]

    \[=-\frac{1}{16(2x-1)^2} -\frac{1}{12(2x-1)^3} -\frac{1}{32(2x-1)^4} +C\]

Ответ:   -\frac{1}{16(2x-1)^2} -\frac{1}{12(2x-1)^3} -\frac{1}{32(2x-1)^4} +C

[свернуть]

И, напоследок, предлагаю в качестве закрепления найти первые интегралы, вычисленные внесением под знак дифференциала, с помощью введения замены.

 На этом всё, успехов в изучении высшей математики!




Замечательные пределы

В этой статье будут рассмотрены первый и второй замечательные пределы. Мы дадим их определение и разберем на примерах случаи практического применения. Перед прочтением рекомендую сначала ознакомиться с предыдущей статьей о пределах.

Итак, замечательными пределами будем называть тождества вида:

%d0%b7%d0%b0%d0%bc%d0%b5%d1%87%d0%b0%d1%82%d0%b5%d0%bb%d1%8c%d0%bd%d1%8b%d0%b5-%d0%bf%d1%80%d0%b5%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d1%8b

Первый замечательный предел

Как при решении конкретной задачи увидеть и использовать первый замечательный предел? Для этого нужно выяснить, стремится ли к нулю аргумент синуса. Понятно, что далеко не всегда синус будет зависеть именно от x. Чаще всего это будут некоторые выражения, но главное, чтобы они обращались в 0 при подстановке предельного значения x.

Пример 1. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{\sin{6x}}{x}\]

Решение:   При подстановке предельного значения x=0 получаем неопределенность вида \frac{0}{0}.  Очевидно, что аргумент синуса 6x стремится к нулю при x \to 0.

Таким образом, для использования первого замечательно предела нужно получить в знаменателе дроби в точности аргумент синуса 6x. Умножим числитель и знаменатель дроби на 6:

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{\sin{6x}}{x} = \lim_{x\to 0}  \left ( \frac{\sin{6x}}{x} \cdot \frac{6}{6} \right ) = 6 \cdot  \lim_{x\to 0}  \frac{\sin{6x}}{6x} = \cdots\]

Предел выражения  \frac{\sin{6x}}{6x}  при x \to 0 равен единице, в соответствии с первым замечательным пределом.

    \[\cdots = 6 \cdot 1 = 6\]

Ответ:   6

[свернуть]

Пример 2. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{{\operatorname{sin}}^2{(7x)}}{5x^2}\]

Решение:   Подставляем предельное значение x=0, получаем неопределенность вида \frac{0}{0}.

В числителе имеем квадрат синуса, аргумент которого 7x стремится к нулю. Следовательно, удобно будет воспользоваться первым замечательным пределом:

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{{\operatorname{sin}}^2{(7x)}}{5x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin{(7x)} \cdot \sin{(7x)}}{5 \cdot \frac{1}{7} \cdot 7x \cdot \frac{1}{7} \cdot 7x}  =\]

    \[= \frac{49}{5} \lim_{x\to 0} \left ( \frac{\sin{(7x)}}{7x} \cdot \frac{\sin{(7x)}}{7x} \right ) = \frac{49}{5} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{49}{5}\]

Ответ:   \frac{49}{5}

Здесь был дважды применен первый замечательный предел. Мы воспользовались тем фактом, что предел выражения  \frac{\sin{(7x)}}{7x}  равен 1 при x \to 0.

[свернуть]

Помимо стандартной формы записи первого замечательно предела, будет справедливо следующее равенство:

    \[\boxed { \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin{x}} = 1}\]

Рассмотрим пример с использованием данной  модификации.

Пример 3. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{x^2}{\sin{x^3}}\]

Решение:   При подстановке предельного значения x=0 получаем неопределенность вида \frac{0}{0}. Аргумент синуса x^3 стремится к нулю.

Для использования замечательного предела в числителе дроби x должен иметь третью степень. Добьемся этого, умножив числитель и знаменатель дроби на x:

    \[\lim_{x\to 0}  \left ( \frac{x^2}{\sin{x^3}} \cdot \frac{x}{x} \right ) = \lim_{x\to 0}  \left ( \frac{x^3}{\sin{x^3}} \cdot \frac{1}{x} \right ) = \cdots\]

Теперь, согласно первому замечательному пределу, вместо выражения  \frac{x^3}{\sin{x^3}}  можно просто написать 1:

    \[\cdots = \lim_{x\to 0} \left ( 1 \cdot \frac{1}{x} \right ) = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} = \frac{1}{0} = \infty\]

Ответ:   \infty

[свернуть]

Разберем теперь пару примеров, в которых отсутствует синус, но его возможно получить, прибегнув к различным формулам тригонометрии.

Пример 4. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{\operatorname{tg} x}{3x}\]

Решение:   При подстановке предельного значения x=0 получаем неопределенность вида \frac{0}{0}. Синуса не видно, однако, можно поступить следующим образом: запишем тангенс как отношение синуса к косинусу.

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{\operatorname{tg} x}{3x} = \lim_{x\to 0}  \frac{\sin{x}}{3x \cos{x}} = \cdots\]

Синус появился и аргумент его стремится к нулю — всё хорошо, можно применять первый замечательный предел:

    \[\cdots = \lim_{x\to 0} \left ( \frac{\sin{x}}{x} \cdot \frac{1}{3 \cos{x}} \right )= \lim_{x\to 0} \frac{1}{3 \cos{x}} = \frac{1}{3}\]

Ответ:   \frac{1}{3}

[свернуть]




Пример 5. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{1-\cos{5x}}{x^2}\]

Решение:   При подстановке предельного значения x=0 получаем неопределенность вида \frac{0}{0}. Синуса опять не видно. Как его получить, чтобы воспользоваться замечательным пределом? Предлагаю умножить и разделить дробь на 1+\cos{5x}:

    \[\lim_{x\to 0}  \frac{1-\cos{5x}}{x^2} = \lim_{x\to 0}  \frac{\left ( 1-\cos{5x} \right ) \left ( 1+\cos{5x} \right ) }{x^2 \left ( 1+\cos{5x} \right ) } =\cdots\]

В числителе появилась формула разности квадратов a^2-b^2=(a-b)(a+b). У нас есть ее левая часть, то есть a=1, а b=\cos{5x}. Имеем:

    \[\cdots = \lim_{x\to 0}  \frac{1-\cos^2{5x}}{x^2 \left ( 1+\cos{5x} \right ) } =...\]

Синуса мы не получили, однако в числителе хорошо просматривается основное тригонометрическое тождество \sin^2{x} +\cos^2{5x} =1. Таким образом, вместо 1-\cos^2{5x} можем смело написать \sin^2{5x}:

    \[\cdots = \lim_{x\to 0}  \frac{\sin^2{5x}}{x^2 \left ( 1+\cos{5x} \right ) } =\]

    \[=\lim_{x\to 0} \left ( \frac{\sin{5x}}{5x} \cdot \frac{\sin{5x}}{5x} \cdot \frac{25}{1+\cos{5x}} \fight )=\]

    \[= \lim_{x\to 0} \frac{25}{1+\cos{5x}} = \frac{25}{1+1} = \frac{25}{2}\]

Ответ:   \frac{25}{2}

[свернуть]

И еще одна задача. Чтобы не было зацикливания на том, что обязательно x\to 0 🙂

Пример 6. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to 3}  \left ( (4x-12) \operatorname{ctg}{(12-4x)} \right )\]

Решение:   При подстановке предельного значения x=3 получаем неопределенность вида 0 \cdot \infty.

Как видим, x не стремится к нулю, а вот выражение 12-4x стремится. Для решения такой задачи удобно ввести замену t=12-4x. При этом понятно, что t \to 0. Получаем:

    \[\lim_{t\to 0}  \left ( -t \cdot \operatorname{ctg}{t} \right ) = \cdots\]

Синуса нет, но его легко получить, расписав котангенс как отношение косинуса к синусу:

    \[\cdots = \lim_{t\to 0}  \left ( -t \cdot \frac{\cos{t}}{\sin{t}} \right ) =- \lim_{t\to 0}  \left ( \frac{t}{\sin{t}} \cdot \cos{t} \right ) =\]

    \[= -\lim_{t\to 0} \cos{t} =-1\]

Ответ:   -1

[свернуть]

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел служит для избавления от неопределенности вида 1^{\infty}. Таким образом, если при подстановке предельного значения x была получена неопределенность 1^{\infty}, то сразу понимаем, что предстоит работа именно со вторым замечательным пределом.

Пример 7. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to \infty}  {\left (1+\frac{1}{4x} \right ) }^{x}\]

Решение: Самое первое действие — подставляем предельное выражение x. При этом \frac{1}{4x} \to 0, а всё выражение представляет собой неопределенность 1^{\infty}.

Наша задача состоит в том, чтобы получить запись вида

    \[\lim_{x\to \infty}  {\left ( 1+\frac{1}{f(x)} \right ) }^{f(x)}\]

Умножим и разделим показатель степени на 4.

    \[\lim_{x\to \infty}  {\left (1+\frac{1}{4x} \right )}^{x} = \lim_{x\to \infty}  {\left ( {\left (1+\frac{1}{4x} \right )}^{4x} \right ) } ^{\frac{1}{4}} = \cdots\]

Видим выражение {\left (1+\frac{1}{4x} \right )}^{4x} — это второй замечательный предел, заменяем его на букву e.

    \[\cdots = \lim_{x\to \infty} e^{\frac{1}{4}} = e^{\frac{1}{4}}\]

Ответ:   e^{\frac{1}{4}}

[свернуть]

Замечание. e — это иррациональное, равное 2,71828..., то есть приблизительно e \approx 2,7.

Пример 8. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to \infty}  {\left (1+\frac{1-3x}{x^2} \right ) }^{5x}\]

Решение: При подстановке предельного значения x имеем неопределенность 1^{\infty}. Если с понимаем этого факта еще возникают сложности, читайте предыдущую статью о пределах.

В основании находится 1 + \frac{1-3x}{x^2}. Следовательно, в показателе степени должно оказаться выражение, обратное к \frac{1-3x}{x^2}, то есть \frac{x^2}{1-3x}. Чтобы ничего не изменилось, умножим и разделим показатель на \frac{x^2}{1-3x}.

    \[\lim_{x\to \infty}  {\left (1+\frac{1-3x}{x^2} \right ) }^{5x} = \lim_{x\to \infty}  {\left (1+\frac{1-3x}{x^2} \right ) }^{\frac{x^2}{1-3x} \cdot \frac{1-3x}{x^2} \cdot 5x} =\]

    \[= \lim_{x\to \infty} {\left ( {\left (1+\frac{1-3x}{x^2} \right ) }^{\frac{x^2}{1-3x} \right )}^{\frac{5x-15x^2}{x^2}} =\cdots\]

Теперь выражение {\left (1+\frac{1-3x}{x^2} \right ) }^{\frac{x^2}{1-3x} есть второй замечательный предел. Получаем:

    \[\cdots = \lim_{x\to \infty} e^{\frac{5x-15x^2}{x^2}}  =e^{\lim_{x\to \infty} \frac{5x-15x^2}{x^2} }= e^M= \cdots\]

Отдельно вычислим предел, обозначенный через M:

    \[\lim_{x\to \infty} \frac{5x-15x^2}{x^2} =\left ( \frac{\infty}{\infty} \right ) = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{5}{x}-15}{1} = -15\]

Возвращаемся к решению исходного предела:

    \[\cdots = e^{-15}\]

Ответ:   e^{-15}

[свернуть]

В обоих разобранных примерах основание степени изначально имело вид «единица плюс выражение от икс». Однако, чаще всего студенту нужно выделить эту единицу самостоятельно:

Пример 10. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to \infty} {\left ( \frac{x-5}{x+1} \right )}^{3x-7}\]

Решение:  При подстановке предельного значения x получаем {\left ( \frac{\infty}{\infty} \fight )}^{\infty}. Преобразуем основание степени, дробь, следующим образом:

    \[\lim_{x\to \infty} {\left ( \frac{x+1-6}{x+1} \right )}^{3x-7} = \lim_{x\to \infty} {\left ( \frac{1+x}{1+x} + \frac{-6}{x+1} \right )}^{3x-7} =\]

    \[=\lim_{x\to \infty} {\left ( 1 - \frac{6}{x+1} \right )}^{3x-7}= \cdots\]

Вновь мысленно подставляем предельное значение x — получаем нашу неопределенность 1^{\infty}.

    \[\cdots = \lim_{x\to \infty} {\left ( 1 + \left( \frac{1}{- \frac{x+1}{6}} \right ) \right )}^{ -\frac{x+1}{6} \cdot \frac{-6}{x+1} \cdot (3x-7)} =\]

    \[=\lim_{x\to \infty} e^{\frac{42-18x}{x+1}} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{42-18x}{x+1}} = e^{-18}\]

Ответ:   e^{-18}

[свернуть]

Рассмотрим самую популярную при решении практических задач модификацию второго замечательного предела:

    \[\boxed { \lim_{x\to 0} {\left ( 1+ x \right ) }^{\frac{1}{x}}= e}\]

Буквально пару дней назад встретил интересную задачу как раз для этой формулы:

Пример 11. Вычислить предел

    \[\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} {\left ( \operatorname{tg}{x} \right )}^{\frac{1}{\cos{2x}}}\]

Решение:  Икс не стремится ни к нулю, ни к бесконечности. Однако, при подстановке предельного значения x=\frac{\pi}{4} мы вновь видим неопределенность 1^{\infty}. Прибавим и отнимем в основании степени единицу:

    \[\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} {\left ( 1 + ( \operatorname{tg}{x} - 1) \right )}^{\frac{1}{\cos{2x}}}\]

Теперь в основании появилась единица плюс выражение от икс, стремящееся к нулю. Используем модификацию второго замечательного предела:

    \[\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} {\left ( 1 + ( \operatorname{tg}{x} - 1) \right )}^{ \frac{1}{\operatorname{tg}{x} - 1} \cdot \frac{\operatorname{tg}{x} - 1}{\cos{2x}}} = \lim_{x\to \frac{\pi}{4}} e^{ \frac{\operatorname{tg}{x} - 1}{\cos{2x}}} =\]

    \[=e^{ \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}  \frac{\operatorname{tg}{x} - 1}{\cos{2x}}} = e^M=\cdots\]

    \[M= \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}  \frac{\operatorname{tg}{x} - 1}{\cos{2x}}\]

В результате получили новый предел, с которым тоже нужно как-то разобраться. При подставке x=\frac{\pi}{4} имеем неопределенность вида \left (  \frac{0}{0} \right ). Введем замену x=t+\frac{\pi}{4}. При этом понятно, что t \to 0.

    \[\lim_{t \to 0} \frac{\operatorname{tg} \left ( t+ \frac{\pi}{4} \right ) -1 }{\cos{\left ( 2t + \frac{\pi}{2} \right ) }}\]

Для тангенса применим формулу тангенса от суммы двух углов. Для косинуса применим формулу приведения.

    \[\lim_{t \to 0} \frac{\frac{\operatorname{tg} t + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1- \operatorname{tg} t \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}} -1 }{-\sin{2t}} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\operatorname{tg} t + 1}{1- \operatorname{tg} t } -1 }{-\sin{2t}} =\]

    \[=- \lim_{t \to 0} \frac{ 2\operatorname{tg} t}{\sin{2t} (1-\operatorname{tg} t)} = - \lim_{t \to 0} \frac{ 2 \sin{t}}{2\sin{t} \cos^2{t} (1-\operatorname{tg} t)} =\]

    \[= - \lim_{t \to 0} \frac{1}{\cos^2{t} (1-\operatorname{tg} t)} = - \frac{1}{1^2 \cdot (1-0)} = -1\]

Возвращаемся к исходному пределу:

    \[\cdots = e^{-1} = \frac{1}{e}\]

Ответ:   \frac{1}{e}

[свернуть]

На этом всё. Надеюсь, что статья была полезна.

Удачи в освоении пределов замечательных и не очень! 🙂




Производная параметрически заданной функции

В этой статье мы дадим определение параметрически заданной функции, покажем процесс нахождение ее производных и рассмотрим несколько примеров.

Определение. Пусть даны две функции переменной t:

\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases} ,

рассматриваемые при одних и тех же значениях t. Тогда любому из этих значений t соответствует некоторое определенное значение x и y, а значит, и определенная точка M(x;y). Когда переменная t пробегает все значения из области определения функций, точка M(x,y) описывает некоторую линию C в плоскости Oxy. Данные уравнения называются параметрическими уравнениями этой линии, а переменная tпараметром. В этом случае говорят, что функция задана параметрически.

То есть теперь у нас нет привычной зависимости y=f(x). Но как же тогда будет находиться производная? Разберемся с этим вопросом.

Для каждого параметрического уравнения найдем дифференциал его левой и правой части:

\begin{cases} dx=x'_t dt \\ dy=y'_t dt \end{cases}

Как известно, производная y по x есть  y'_x = \frac{dy}{dx}. Таким образом, разделив второе уравнение на первое, получим:

\boxed{\frac{dy}{dx} = y'_x = \frac{y'_t}{x'_t}}

С помощью данной формулы и находится первая производная функции, заданной параметрически.

Пример 1

Найти производную параметрически заданной функции  \begin{cases} x=t  \\ y=\sin{t} \end{cases}

Решение:   В соответствии с формулой, производная по x будет равна производной y по t, деленной на производную x по t.

    \[y'_x = \frac{(\sin{t})'_t}{(t)'_t} = \frac{\cos{t}}{1} = \cos{t}\]

Ответ:   y'_x = \cos{t}

[свернуть]

Пример 2

Найти производную параметрически заданной функции  \begin{cases} x=\ln{t}  \\ y=e^{3t} \end{cases}

Решение:

    \[y'_x = \frac{(e^{3t})'_t}{(\ln{t})'_t} =\frac{e^{3t} \cdot (3t)'_t}{\frac{1}{t}} = 3te^{3t}\]

Ответ:   y'_x = 3te^{3t}

[свернуть]




Пример 3

Найти производную параметрически заданной функции  \begin{cases} x= \operatorname{tg}(5t) \\ y= \cos^{-1}{(5t)} \end{cases}

Решение:

    \[y'_x = \frac{(\cos^{-1}{(5t)})'_t}{(\operatorname{tg}(5t))'_t} =\frac{-\cos^{-2}(5t) \cdot (\cos{(5t)})'_t \cdot (5t)'_t}{\frac{(5t)'_t}{\cos^{2}{(5t)}}} = \frac{5 \cos^{-2}(5t) \cdot \sin{(5t)}}{5 \cos^{-2}(5t)} = \sin{(5t)}\]

Ответ:   y'_x=\sin{(5t)}

[свернуть]

Если поставлена задача нахождения производной высшего порядка, будем преобразовывать уже полученную формулу первой производной следующим образом:

    \[y''_{xx} = (y'_x)'_x = \frac{dy'_x}{dx} = \frac{\frac{dy'_x}{dt}}{\frac{dx}{dy}} = \frac{(y'_x)'_t}{x'_t}\]

    \[y'''_{xxx} = (y''_{xx})'_x = \frac{dy''_{xx}}{dx} = \frac{\frac{dy''_{xx}}{dt}}{\frac{dx}{dy}} = \frac{(y''_{xx})'_t}{x'_t}\]

И так далее. То есть, как и в случае с производными функции y=f(x), для нахождения n-ой производной нужно сначала последовательно найти с первой по n-1 производные.

 

Пример 4

Найти вторую производную y''_{xx} параметрически заданной функции \begin{cases} x= t^2 \\ y= e^{2t} \end{cases}

Решение:   Находим сначала первую производную y'_x:

    \[y'_x = \frac{(e^{2t})'_t}{(t^2)'_t} = \frac{2e^{2t}}{2t} = \frac{e^{2t}}{t}\]

Записываем найденную производную в параметрическом виде:   \begin{cases} x= t^2 \\ y'_x = \frac{e^{2t}}{t} \end{cases}

Для этой новой функции применяем формулу еще раз:

    \[y''_{xx} = (y'_x)'_x = \frac{{\left ( \frac{e^{2t}}{t}  \right )}'_t}{(t^2)'_t} = \frac{\frac{2te^{2t} - e^{2t}}{t^2}}{2t} =\frac{2te^{2t} - e^{2t}}{2t^3} = e^{2t} \left (  \frac{1}{t^2} - \frac{1}{2t^3} \right )\]

Ответ:  y''_{xx} = e^{2t} \left (  \frac{1}{t^2} - \frac{1}{2t^3} \right )

[свернуть]

Пример 5

Найти третью производную y'''_{xx} параметрически заданной функции \begin{cases} x= \ln{t} \\ y= t^3 \end{cases}

Решение:   Находим сначала первую производную y'_x:

    \[y'_x = \frac{(t^3)'_t}{(\ln{t})'_t} = \frac{3t^2}{\frac{1}{t}} = 3t^3\]

Записываем найденную производную в параметрическом виде:   \begin{cases} x= \ln{t} \\ y'_x = 3t^3 \end{cases}

Для этой новой функции применяем формулу еще раз:

    \[y''_{xx} = (y'_x)'_x = \frac{{\left ( 3t^3  \right )}'_t}{(\ln{t})'_t} = \frac{9t^2}{\frac{1}{t}} = 9t^3\]

И вторую производную пишем в параметрической форме:   \begin{cases} x= \ln{t} \\ y''_{xx} = 9t^3 \end{cases}

Заключительный, третий раз применяем формулу:

    \[y'''_{xxx} = (y''_{xx})'_x = \frac{(9t^3)'_t}{(\ln{t})'_t} = \frac{27t^2}{\frac{1}{t}} = 27t^3\]

Ответ:  y'''_{xxx} = 27t^3

[свернуть]

На этом всё. Мы познакомились с производной функции, заданной параметрически, а также рассмотрели процесс нахождения производных высшего порядка. Спасибо за внимание и удачи в дальнейшем изучении высшей математики!




Производная высших порядков

В этой статье познакомимся с понятием производной высшего порядка от функции одной переменной. Начнем с определения и рассмотрим несколько примеров. Будем исходить из того, что Вы уже не имеете проблем с вычислением первой производной.

Итак, пусть дана некоторая функция y=f(x), и пусть она имеет конечную производную первого порядка f'(x) в интервале (a,b), то есть f'(x) также является функцией на данном интервале. Если эта функция дифференцируема, то можно найти вторую производную исходной функции f(x). Обозначается следующим образом:

    \[f''=(f')' = {\left (  \frac{dy}{dx} \right )}' = \frac{d}{dx} \left ( \frac{dy}{dx}  \right ) = \frac{d^2 y}{dx^2}\]

То есть для нахождения второй производной достаточно продифференцировать первую производную.

Производные более высокого порядка (в случае их существования) функции y=f(x) задаются так:

f'''= \frac{d^3y}{dx^3}=y'''=(f'')',     f^{(4)} = \frac{d^4y}{dx^4} = y^{(4)} ={ \left (  f''' \right )}',     …,     f^{(n)} = \frac{d^ny}{dx^n} = y^{(n)} = { \left (  f^{(n-1)} \right )}'.

Таким образом, для вычисления производной n-го порядка от какой-то функции y=f(x) необходимо продифференцировать f(x) последовательно n раз. Переход к производной более высокого порядка осуществляем по формуле:

\boxed{ y^{(n)} = { \left (  y^{(n-1)} \right ) }' }

Покажем теперь на примерах процесс нахождения производных высших порядков.

Пример 1. Найти вторую производную y'' функции y=x^2.

Решение

Шаг первый. Находим y':

y'= {\left (  x^2 \right )}' = 2x

Шаг второй. Находим искомую y'', применив представленную выше формулу:

y''= (y')'=(2x)'=2

Ответ:   y''=2

[свернуть]




Пример 2. Найти третью производную y''' функции y=\cos{(3x+2)}.

Решение

Находим последовательно производные, не забывая, что имеем дело со сложной функцией (косинус зависит не просто от x, а от выражения 3x+2).

    \[y'= {\left ( \cos{(3x+2)} \right )}' = - \sin{(3x+2)} \cdot (3x+2)' = - \sin{(3x+2)} \cdot 3 = -3 \sin{(3x+2)}\]

y''=(y')'=(-3 \sin{(3x+2)})' = -3 \cos{(3x+2)} \cdot 3 = -9 \cos{(3x+2)}

y'''=(y'')'=(-9 \cos{(3x+2)})' = 9 \sin{(3x+2)} \cdot 3 =27 \sin{(3x+2)}

Ответ:   y'''= 27 \sin{(3x+2)}

[свернуть]

Пример 3. Найти с первой по третью производные от функции y=\arcsin{x}.

Решение

y'=(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

При нахождении второй производной избавимся от дроби.

    \[y''=(y')'= {\left (  \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right )}' = {\left (  {(1-x^2)}^{-\frac{1}{2}} \right )}' = -\frac{1}{2} \cdot {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}} \cdot (1-x^2)' = x {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}}\]

И работаем теперь с производной произведения.

    \[y'''= (y'')'= {\left ( x {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}} \right )}' = (x)' {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}} + {\left ( {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}} \right )}' x = {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}} -\frac{3}{2} x {(1-x^2)}^{-\frac{5}{2}} \cdot (1-x^2)' =\]

= {(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}} +3 x^2 {(1-x^2)}^{-\frac{5}{2}}

[свернуть]

Пример 4. Найти десятую производную y^{(10)} функции y=e^x.

Решение

Чтобы дать ответ, необязательно находить последовательно с первой по десятую производные. Достаточно открыть таблицу производных и найти там производную от e^x,

(e^x)'=e^x.

Отсюда можем сделать следующий вывод:

e^x= (e^x)' = (e^x)'' = \cdots = {(e^x)}^{(10)} = \cdots.

Ответ:   y^{(10)} = e^x

[свернуть]

Пример 5. Найти третью производную y''' функции y=\frac{\ln{x}}{x}

Решение

Находим последовательное три производные. Не забываем, что перед нами дробь.

    \[y' = {\left (  \frac{\ln{x}}{x} \right )}' = \frac{(\ln{x})' x - x' \ln{x}}{x^2} = \frac{1-\ln{x}}{x^2}\]

    \[y''=(y')'= {\left ( \frac{1-\ln{x}}{x^2} \right )}' = \frac{(1-\ln{x})'x^2 - (x^2)'(1-\ln{x})}{x^4} = - \frac{x+2x(1-\ln{x})}{x^4} =\]

    \[=-\frac{3-2\ln{x}}{x^3} = \frac{2\ln{x} - 3}{x^3}\]

    \[y'''=(y'')'= {\left ( \frac{2\ln{x} - 3}{x^3} \right )}' = \frac{(2\ln{x} - 3)'x^3- (x^3)' (2\ln{x} - 3)}{x^6} = \frac{2x^2 - 3x^2 (2\ln{x} - 3)}{x^6} =\]

    \[= \frac{2-3(2\ln{x} - 3)}{x^4} = \frac{11-6\ln{x}}{x^4}\]

Ответ:   y'''= \frac{11-6\ln{x}}{x^4}

[свернуть]

Понятно, что сложности с этой темой могут возникнуть только в том случае, если у Вас западает техника нахождения производной. Вопрос нахождения производных высшего порядка от неявно и параметрически заданных функций читайте в следующих статьях:

На этом всё, удачи в освоении матана! 🙂




Производная неявно заданной функции

В предыдущей статье был рассмотрен вопрос нахождения производной функции, заданной в явном виде, то есть y=f(x). Сейчас мы научимся находить производную от неявной функции.

Неявной называют функцию, заданную уравнением F(x,y)=0. То есть x и y связаны между собой, однако выразить отсюда y не представляется возможным. Как в этом случае будет находиться производная?

Алгоритм такой:

  1. Дифференцируем левую и правую часть по x, при этом y дифференцируем как сложную функцию от x (производная от y будет y').
  2. Решаем полученное уравнение относительно производной, то есть выражаем y'.

Стоит заметить, что на практике в правой части уравнения совсем необязательно будет именно 0. Там можем быть и некоторое выражение от x, y. Понятно, что это выражение можно без проблем перенести влево и получить уравнение вида F(x,y)=0.

Пример 1. Найти производную функции xy^3+x^2=1

Решение

Действуем строго по алгоритму — дифференцируем левую и правую часть уравнения:

(xy^3+x^2)'=(1)'

(xy^3)' + (x^2)'=0

x' \cdot y^3 + (y^3)' \cdot x + 2x=0

y^3 + 3y^2 y'x + 2x =0

Первая часть работы выполнена. Теперь выражаем отсюда y':

3y^2 y'x = -2x -y^3

y'= \frac{-2x -y^3}{3xy^2 } = -\frac{2x + y^3}{3xy^2 }

Всё, производная успешно найдена. В ответ запишем y'=-\frac{2x + y^3}{3xy^2 }

[свернуть]

Пример 2. Найти производную функции e^y + \cos{(x+y)}=0

Решение

Снова дифференцируем и не забываем, что y — сложная функция.

(e^y + \cos{(x+y)})'=(0)'

(e^y)'+( \cos{(x+y)})' =0

y'e^y - \sin{(x+y)} \cdot (x+y)' =0

y'e^y- \sin{(x+y)} \cdot (1+y')=0

Решаем уравнение относительно y':

y'e^y- \sin{(x+y)} - y' \sin{(x+y)}=0

y' (e^y - \sin{(x+y)}) = \sin{(x+y)}

y'= \frac{\sin{(x+y)}}{e^y - \sin{(x+y)}}

[свернуть]




Пример 3. Найти производную функции \operatorname{tg}(3x^2+y) = x+ \frac{1}{y}

Решение

( \operatorname{tg}(3x^2+y))' = { \left ( x+  \frac{1}{y} \right ) } '

\frac{(3x^2+y)'}{\cos^2{(3x^2+y)}} = x' + { \left ( \frac{1}{y} \right ) } '

\frac{6x+y'}{\cos^2{(3x^2+y)}} = 1 - \frac{y'}{y^2}

Теперь аккуратно выразим y':

\frac{6x}{\cos^2{(3x^2+y)}} + \frac{y'}{\cos^2{(3x^2+y)}} = 1 - \frac{y'}{y^2}

\frac{y'}{\cos^2{(3x^2+y)}} + \frac{y'}{y^2} = 1- \frac{6x}{\cos^2{(3x^2+y)}}

y' \left ( \frac{1}{\cos^2{(3x^2+y)}} + \frac{1}{y^2} \right ) = 1- \frac{6x}{\cos^2{(3x^2+y)}}

    \[y'= \frac{1- \frac{6x}{\cos^2{(3x^2+y)}}}{\frac{1}{\cos^2{(3x^2+y)}} + \frac{1}{y^2}}\]

[свернуть]

Пример 4. Найти производную функции x^y=y^x

Решение

Если продифференцировать левую и правую часть уравнения, то увидим, что получатся два выражения, производные от которые в таблице производных отсутствуют. Поступим следующим образом: прологарифмируем левую и правую часть, полагая, что x>0, y>0 и x \ne 1, y \ne 1.

\ln{(x^y)} = \ln{(y^x)}

Теперь по свойству логарифма получаем:

y \cdot \ln{x} = x \cdot \ln{y}

Всё, сейчас с дифференцированием проблем быть не должно — нужно просто найти производные от двух произведений по соответствующей формуле:

(y \cdot \ln{x} )' = (x \cdot \ln{y} )'

y' \cdot \ln{x} + (\ln{x})' \cdot y = x' \cdot \ln{y} + (\ln{y})' \cdot x

y' \ln{x} +\frac{y}{x} = \ln{y} + \frac{xy'}{y}

И выражаем y':

y' \ln{x} - \frac{xy'}{y} = \ln{y} - \frac{y}{x}

y' \left ( \ln{x} - \frac{x}{y} \right ) = \ln{y} - \frac{y}{x}

y'= \frac{\ln{y} - \frac{y}{x}}{\ln{x} - \frac{x}{y}} = \frac{y(x \ln{y} - y)}{x(y \ln{x} -x)}

[свернуть]

Помимо первой производной, у неявной функции можно найти производные высших порядков (то есть 2го, 3го, 4го и т.д.). Покажем на паре примеров как это делается.

Пример 5. Найти вторую производную y'' функции xy^3+x^2=1

Решение

Дифференцируем левую и правую часть уравнения:

(xy^3+x^2)'=(1)'

y^3 + 3y^2 y'x + 2x =0

Теперь выражаем отсюда y':

y'= \frac{-2x -y^3}{3xy^2 } = -\frac{2x + y^3}{3xy^2 }

Первая производная найдена, но нам нужна вторая. Поэтому дифференцируем еще раз исходное уравнение:

( y^3 + 3y^2 y'x + 2x ) '=(0)'

3y^2 y' + 3(y^2 y')' \cdot x + 3x' \cdot (y^2 y') +2 = 0

3y^2y' + 3x((y^2)' y' + (y')' y^2) + 3 y^2 y'  +2=0

6y^2 y' + 6xy(y')^2+3xy^2 y'' +2=0

Решаем уравнение относительно y'':

y''= -\frac{2+6y^2 y' + 6xy(y')^2}{3xy^2} = -\frac{2}{3xy^2} -\frac{6y^2 y'}{3xy^2} -\frac{6xy(y')^2}{3xy^2} =

= -\frac{2}{3xy^2} -\frac{2y'}{x} -\frac{2(y')^2}{y}

Осталось лишь избавиться в правой части от y', которое уже было найдено раньше. То есть вместо y' подставим -\frac{2x + y^3}{3xy^2 }:

y''=-\frac{2}{3xy^2} + \frac{4x+2y^3}{3x^2y^2} - \frac{2 (2x+y^3)^2}{y(3xy^2)^2}

Итак, вторая производная найдена. С ответом можно, конечно, попытаться поработать, сделать красивее, но мы этого делать не будем — лучше решим еще один пример 😉

[свернуть]

Пример 6. Найти третью производную y''' функции e^y+\sin{y}=x

Решение

Вновь имеем дело с неявно заданной функцией. Дифференцируем:

(e^y+\sin{y} )'=(x)'

y'e^y+y' \cos{y} =1

Отсюда y'= \frac{1}{e^y + \cos{y}}

Дифференцируем уравнение еще раз:

(y'e^y+y' \cos{y} )'=(1)'

y''e^y+ (y')^2e^y + y'' \cos{y} - (y')^2 \sin{y} =0

Выражаем y'':

y'' (e^y+ \cos{y}) = (y')^2 \sin{y} - (y')^2e^y

y''= \frac{(y')^2 ( \sin{y} - e^y )}{e^y+ \cos{y}}

Избавимся сразу от первой производной, используя равенство y'= \frac{1}{e^y + \cos{y}}.

y'' = \frac{ \sin{y} - e^y }{(e^y+ \cos{y} )^2}

И, наконец, третий раз дифференцируем уравнение (не просчитаться бы 🙂 ).

(y''e^y+ (y')^2 e^y + y'' \cos{y} - (y')^2 \sin{y} )'=(0)'

    \[y'''e^y + y''y'e^y + {\left (  (y')^2 \right )}' e^y + (y')^3 e^y + y''' \cos{y} - y'y'' \sin{y} - {\left (  (y')^2 \right )}' \sin{y} - (y')^2 \cos{y} =0\]

    \[y''' (e^y + \cos{y} ) = -y''y'e^y - {\left (  (y')^2 \right )}' e^y - (y')^3 e^y + y'y'' \sin{y} + {\left (  (y')^2 \right )}' \sin{y} + (y')^2 \cos{y}\]

y'''= \frac{ -y''y'e^y - {\left (  (y')^2 \right )}' e^y - (y')^3 e^y + y'y'' \sin{y} + {\left (  (y')^2 \right )}' \sin{y} + (y')^2 \cos{y}}{e^y + \cos{y}}

Мда, задачи я придумал, конечно… Предлагаю, если у Вас есть желание, самостоятельно окончательно расписать эту третью производную. Добавлю только, что {\left (  (y')^2 \right )}' = (y' \cdot y')'= y''y' + y''y'=2y'y''.

[свернуть]

На этом всё, принцип понятен. Тема несложная, если не связываться с производными высших порядков, а там нужно считать очень внимательно.

Удачи!




Числовой положительный ряд. Необходимый признак.

В этой статье будет дано определение числового положительного ряда. Рассмотрим необходимый признак сходимости числового ряда и решим несколько примеров.

Определение.  Пусть a_1, a_2, \cdots , a_n, \cdots — последовательность вещественных чисел. Числовым рядом называется 

    \[\sum_{k=1}^{\infty} a^k\]

Неопределенный интеграл. Свойства. Примеры.

Сегодня мы познакомимся с неопределенным интегралом, рассмотрим его свойства и порешаем несложные задачи. Для успешного изучения материала убедитесь, что у Вас нет проблем с производными 😉

Неопределенный интеграл функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

    \[\boxed{\int f(x)dx = F(x)+C}\]

C — некоторая константа. F(x) является первообразной функции f(x). Это значит, что если продифференцировать F(x), мы получим f(x), то есть F'(x)=f(x).

Почему нужно писать «плюс константа»? Поскольку производная любой константы равна нулю, и производная суммы равна сумме производных, для функции f(x) можно записать бесконечное множество первообразных. Попробуйте, например, продифференцировать F=x^2+1,  F=x^2-5,  F=x^2-1000. Понятно, что везде будет получена функция f(x)=2x. Таким образом, первообразной для функции f(x)=2x будет множество функций вида F(x)=x^2+C.

Для решения базовых примеров необходимо знать свойства неопределенных интегралов и иметь перед глазами таблицу интегралов (которую, как и таблицу производных, стоит выучить наизусть).

 Свойства:

Свойства интегралов

Первое свойство говорит о том, что константу можно выносить за знак интеграла. Второе свойство: интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов.

Таблица интегралов

таблица интегралов

[свернуть]

После решения конкретных задач на нахождение неопределенного интеграла рекомендую всегда делать проверку. Каким образом выполняется проверка? Положим, мы получили ответ F(x)+C. От этого выражения необходимо взять производную. Если производная оказалась в точности интегрируемой функцией f(x), то интеграл вычислен верно.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл. Результат проверить дифференцированием.

    \[\int \left ( \frac{5}{3x} + 3x^2 + \cos{2} - \frac{6}{\sin^2{x}}\right ) dx\]

Решение:   Понятно, что такой функции нет в таблице интегралов, поэтому нужно выполнить какие-то преобразования. Первым делом используем второе свойство интеграла:

    \[\int \left ( \frac{5}{3x} + 3x^2 + \cos{2} - \frac{6}{\sin^2{x}}\right ) dx = \int \frac{5}{3x} dx + \int 3x^2dx + \int \cos{2} dx - \int \frac{6}{\sin^2{x}} dx =\]

Теперь каждый интеграл похож на табличный, но не совсем. Воспользуемся первым свойством — вынесем константы за знак интеграла. Отдельно нужно заметить, что \cos{2} не является функцией от x, это самая обыкновенная константа.

    \[= \frac{5}{3} \int \frac{dx}{x} +3 \int x^2 dx + \cos{2} \int dx - 6 \int \frac{dx}{\sin^2{x}} =\]

Все полученные интегралы табличные. Глядя на таблицу интегралов, записываем ответ:

    \[= \frac{5}{3} \ln{|x|} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + \cos{2} \cdot x - 6 \cdot (-\operatorname{ctg}{x}) +C= \frac{5}{3} \ln{|x|} + x^3 +x \cos{2} + 6 \operatorname{ctg}{x} +C\]

Ответ:   \frac{5}{3} \ln{|x|} + x^3 +x \cos{2} + 6 \operatorname{ctg}{x} +C

Выполним проверку — найдем производную от полученного выражения:

    \[{\left ( \frac{5}{3} \ln{|x|} + x^3 +x \cos{2} + 6 \operatorname{ctg}{x} +C \right ) }' =\]

    \[=\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{x} + 3x^2 + \cos{2} +6 \cdot \left ( -\frac{1}{\sin^2{x}}  \right ) + 0=\]

    \[=\frac{5}{3x} + 3x^2 + \cos{2} - \frac{6}{\sin^2{x}}\]

Итак, проверка выполнена, интеграл найден верно. Двигаемся дальше.

[свернуть]




Пример 2. Найти неопределенный интеграл. Результат проверить дифференцированием.

    \[\int \frac{3x^2-x^{1/3}+\sqrt{x}}{x} dx\]

Решение: Подынтегральное выражение представляет собой дробь с весьма неприглядным числителем. Избавимся от дроби с помощью почленного деления числителя на знаменатель.

    \[\int \left ( \frac{3x^2}{x} -\frac{x^{1/3}}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}\right ) dx =\]

Используем свойство степеней \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}.

    \[\int \left ( 3x^{2-1} - x^{\frac{1}{3}-1} + x^{\frac{1}{2}-1}\right ) dx = \int \left ( 3x - x^{-\frac{2}{3}} + x^{-\frac{1}{2}} \right ) dx=\]

Интеграл суммы равен сумме интегралов (2 свойство). Для каждого получившегося интеграла применяем третью формулу из таблицы.

    \[3\int xdx -\int x^{-\frac{2}{3}} +\int x^{-\frac{1}{2}} = 3 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} + \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} +C=\]

    \[=\frac{3x^2}{2} - 3x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} +C= \frac{3x^2}{2} - 3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt{x} +C\]

Ответ:   \frac{3x^2}{2} - 3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt{x} +C

И снова необходимо выполнить проверку. Дифференцируем полученное выражение:

    \[{\left ( \frac{3x^2}{2} - 3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt{x} +C \right )}'=\]

    \[= \frac{3}{2} \cdot 2x - 3 \cdot \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} + 0 =\]

    \[=3x-x^{-\frac{2}{3}} + x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x} \left ( 3x^{1+1} - x^{-\frac{2}{3} +1} + x^{-\frac{1}{2} +1 } \right ) =\]

    \[=\frac{3x^2 - x^{1/3}+\sqrt{x}}{x}\]

[свернуть]

Как для нахождения производных, так и для вычисления интегралов существует множество программ. Особо удобны онлайн сервисы, например, Wolfram|Alpha. То есть необязательно выполнять (если того не требует задача) проверку вручную.

Пример 3. Найти интеграл. Выполнить проверку.

    \[\int x^3(x^2+2)^2dx\]

Решение:   Преобразуем подынтегральное выражение. Применим формулу квадрата суммы, а затем раскроем скобки.

    \[\int x^3(x^2+2)^2dx = \int x^3(x^4+4x^2+4)dx =\]

    \[= \int (x^7+4x^5+4x^3)dx =\]

Интеграл суммы равен сумме интегралов. Для получившихся второго и третьего интегралов применяем первое свойство (выносим константу).

    \[=\int x^7dx + 4 \int x^5 dx + 4 \int x^3 dx =\]

    \[=\frac{x^8}{8} + 4 \cdot \frac{x^6}{6} + 4 \cdot \frac{x^4}{4} +C = \frac{x^8}{8} + \frac{2x^6}{3} + x^4 +C\]

Ответ:   \frac{x^8}{8} + \frac{2x^6}{3} + x^4 +C

Интеграл найден. Выполним проверку — продифференцируем полученное выражение:

    \[{\left ( \frac{x^8}{8} + \frac{2x^6}{3} + x^4 +C \right )}' = \frac{1}{8} \cdot 8x^7 + \frac{2}{3} \cdot 6x^5 + 4x^3 +0 =\]

    \[=x^7 + 4x^5 + 4x^3 = x^3 (x^4 + 4x^2 + 4) = x^3 (x^2+2)^2\]

Итак, дифференцирование дало в точности подынтегральное выражение исходного интеграла. Таким образом, задача выполнена верно.

[свернуть]

Все разобранные примеры получились в основном на одну формулу из таблицы интегралов. Давайте это исправим 🙂

Пример 4. Найти интеграл.

    \[\int \left ( \frac{3}{\cos^2{x}} - \frac{1}{3-x^2} + \frac{5}{16+x^2} + \frac{2}{\sqrt{x^2-25}} \right ) dx\]

Решение:  Используем второе свойство — разбиваем интеграл на сумму нескольких.

    \[\int  \frac{3dx}{\cos^2{x}} -\int \frac{dx}{3-x^2} + \int \frac{5dx}{16+x^2} + \int \frac{2dx}{\sqrt{x^2-25}} =\]

Используем первое свойство — выносим константу за знак интеграла.

    \[=3 \int  \frac{dx}{\cos^2{x}} -\int \frac{dx}{3-x^2} +5 \int \frac{dx}{16+x^2} +2 \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-25}} =\]

Теперь каждый интеграл является табличным. Аккуратно записываем ответ при помощи таблицы (первый — 10я формула, второй — 13я формула, третий — 12я формула, четвертый — 14я формула):

    \[=3 \operatorname{tg}x - \frac{1}{2 \sqrt{3}} \ln{\left | \frac{\sqrt{3} +x}{\sqrt{3} -x} \right \vert \quad} + \frac{5}{4} \operatorname{arctg} \frac{x}{4} + 2 \ln{\left | x+ \sqrt{x^2-25} \right \vert \quad} +C\]

Ответ получен. Громоздкий? Ничего страшного! Главное, чтобы было правильно (сделайте проверку самостоятельно).

[свернуть]

Рассмотренный материал является первым маленьким шажком в освоении интегралов. Если здесь всё понятно, то предлагаю сразу перейти к следующей статье и научиться использовать замену при интегрировании.

Удачи! Желаю Вам никогда не забывать про константу в ответе 😉