Построение графиков функций. Постройте график функции y= 4 2x 2 график

Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями \

Исследуем сначала графики функций \(x\left(t \right)\) и \(x\left(t \right)\). Обе функции представляют собой кубические многочлены, которые определены для всех \(x \in \mathbb{R}.\) Находим производную \(x"\left(t \right):\) \[ {x"\left(t \right) = {\left({{t^3} + {t^2} - t} \right)^\prime } } = {3{t^2} + 2t - 1.} \] Решая уравнение \(x"\left(t \right) = 0,\) определяем стационарные точки функции \(x\left(t \right):\) \[ {x"\left(t \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 3{t^2} + 2t - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {t_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {16} }}{6} = - 1;\;\frac{1}{3}.} \] При \(t = 1\) функция \(x\left(t \right)\) достигает максимума, равного \ а в точке \(t = \large\frac{1}{3}\normalsize\) она имеет минимум, равный \[ {x\left({\frac{1}{3}} \right) } = {{\left({\frac{1}{3}} \right)^3} + {\left({\frac{1}{3}} \right)^2} - \left({\frac{1}{3}} \right) } = {\frac{1}{{27}} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = - \frac{5}{{27}}.} \] Рассмотрим производную \(y"\left(t \right):\) \[ {y"\left(t \right) = {\left({{t^3} + 2{t^2} - 4t} \right)^\prime } } = {3{t^2} + 4t - 4.} \] Находим стационарные точки функции \(y\left(t \right):\) \[ {y"\left(t \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 3{t^2} + 4t - 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow {t_{1,2}} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt {64} }}{6} = - 2;\;\frac{2}{3}.} \] Здесь, аналогично, функция \(y\left(t \right)\) достигает максимума в точке \(t = -2:\) \ и минимума в точке \(t = \large\frac{2}{3}\normalsize:\) \[ {y\left({\frac{2}{3}} \right) } = {{\left({\frac{2}{3}} \right)^3} + 2{\left({\frac{2}{3}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{2}{3} } = {\frac{8}{{27}} + \frac{8}{9} - \frac{8}{3} } = { - \frac{{40}}{{27}}.} \] Графики функций \(x\left(t \right)\), \(y\left(t \right)\) схематически показаны на рисунке \(15a.\)

Заметим, что так как \[ {\lim\limits_{t \to \pm \infty } x\left(t \right) = \pm \infty ,}\;\;\; {\lim\limits_{t \to \pm \infty } y\left(t \right) = \pm \infty ,} \] то кривая \(y\left(x \right)\) не имеет ни вертикальных, ни горизонтальных асимптот. Более того, поскольку \[ {k = \lim\limits_{t \to \pm \infty } \frac{{y\left(t \right)}}{{x\left(t \right)}} } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \frac{{{t^3} + 2{t^2} - 4t}}{{{t^3} + {t^2} - t}} } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \frac{{1 + \frac{2}{t} - \frac{4}{{{t^2}}}}}{{1 + \frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}}} = 1,} \] \[ {b = \lim\limits_{t \to \pm \infty } \left[ {y\left(t \right) - kx\left(t \right)} \right] } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \left({\cancel{\color{blue}{t^3}} + \color{red}{2{t^2}} - \color{green}{4t} - \cancel{\color{blue}{t^3}} - \color{red}{t^2} + \color{green}{t}} \right) } = {\lim\limits_{t \to \pm \infty } \left({\color{red}{t^2} - \color{green}{3t}} \right) = + \infty ,} \] то кривая \(y\left(x \right)\) не имеет также и наклонных асимптот.

Определим точки пересечения графика \(y\left(x \right)\) с осями координат. Пересечение с осью абсцисс происходит в следующих точках: \[ {y\left(t \right) = {t^3} + 2{t^2} - 4t = 0,}\;\; {\Rightarrow t\left({{t^2} + 2t - 4} \right) = 0;} \]

1. \({{t^2} + 2t - 4 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot \left({ - 4} \right) = 20,}\;\; {\Rightarrow {t_{2,3}} = \large\frac{{ - 2 \pm \sqrt {20} }}{2}\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .} \)

1. \({{t^2} + t - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 1 - 4 \cdot \left({ - 1} \right) = 5,}\;\; {\Rightarrow {t_{2,3}} = \large\frac{{ - 1 \pm \sqrt {5} }}{2}\normalsize.} \)

На втором промежутке \(\left({ - 2, - 1} \right)\) переменная \(x\) возрастает от \(x\left({ - 2} \right) = - 2\) до \(x\left({ - 1} \right) = 1,\) а переменная \(y\) убывает от \(y\left({ - 2} \right) = 8\) до \(y\left({ - 1} \right) = 5.\) Здесь мы имеем участок убывающей кривой \(y\left(x \right).\) Она пересекает ось ординат в точке \(\left({0,3 + 2\sqrt 5 } \right).\)

На третьем интервале \(\left({ - 1,\large\frac{1}{3}\normalsize} \right)\) обе переменные убывают. Значение \(x\) изменяется от \(x\left({ - 1} \right) = 1\) до \(x\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{5}{{27}}\normalsize.\) Соответственно, значение \(y\) уменьшается от \(y\left({ - 1} \right) = 5\) до \(y\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{29}{{27}}\normalsize.\) Кривая \(y\left(x \right)\) при этом пересекает начало координат.

На четвертом интервале \(\left({\large\frac{1}{3}\normalsize,\large\frac{2}{3}\normalsize} \right)\) переменная \(x\) возрастает от \(x\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{5}{{27}}\normalsize\) до \(x\left({\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) = \large\frac{2}{{27}}\normalsize,\) а переменная \(y\) убывает от \(y\left({\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{29}{{27}}\normalsize\) до \(y\left({\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) = - \large\frac{40}{{27}}\normalsize.\) На этом участке кривая \(y\left(x \right)\) пересекает ось ординат в точке \(\left({0,3 - 2\sqrt 5 } \right).\)

Наконец, на последнем интервале \(\left({\large\frac{2}{3}\normalsize, + \infty } \right)\) обе функции \(x\left(t \right)\), \(y\left(t \right)\) возрастают. Кривая \(y\left(x \right)\) пересекает ось абсцисс в точке \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \approx 2,18.\)

Для уточнения формы кривой \(y\left(x \right)\) вычислим точки максимума и минимума. Производная \(y"\left(x \right)\) выражается в виде \[ {y"\left(x \right) = {y"_x} } = {\frac{{{y"_t}}}{{{x"_t}}} } = {\frac{{{{\left({{t^3} + 2{t^2} - 4t} \right)}^\prime }}}{{{{\left({{t^3} + {t^2} - t} \right)}^\prime }}} } = {\frac{{3{t^2} + 4t - 4}}{{3{t^2} + 2t - 1}} } = {\frac{{\cancel{3}\left({t + 2} \right)\left({t - \frac{2}{3}} \right)}}{{\cancel{3}\left({t + 1} \right)\left({t - \frac{1}{3}} \right)}} } = {\frac{{\left({t + 2} \right)\left({t - \frac{2}{3}} \right)}}{{\left({t + 1} \right)\left({t - \frac{1}{3}} \right)}}.} \] Изменение знака производной \(y"\left(x \right)\) показано на рисунке \(15c.\) Видно, что в точке \(t = - 2,\) т.е. на границе \(I\)-го и \(II\)-го интервалов кривая имеет максимум, а при \(t = \large\frac{2}{3}\normalsize\) (на границе \(IV\)-го и \(V\)-го интервалов) существует минимум. При переходе через точку \(t = \large\frac{1}{3}\normalsize\) производная также меняет знак с плюса на минус, но в этой области кривая \(y\left(x \right)\) не является однозначной функцией. Поэтому указанная точка экстремумом не является.

Исследуем также выпуклость данной кривой. Вторая производная \(y""\left(x \right)\) имеет вид: \[ y""\left(x \right) = {y""_{xx}} = \frac{{{{\left({{y"_x}} \right)}"_t}}}{{{x"_t}}} = \frac{{{{\left({\frac{{3{t^2} + 4t - 4}}{{3{t^2} + 2t - 1}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left({{t^3} + {t^2} - t} \right)}^\prime }}} = \frac{{\left({6t + 4} \right)\left({3{t^2} + 2t - 1} \right) - \left({3{t^2} + 4t - 4} \right)\left({6t + 2} \right)}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{18{t^3} + 12{t^2} + 12{t^2} + 8t - 6t - 4 - \left({18{t^3} + 24{t^2} - 24t + 6{t^2} + 8t - 8} \right)}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{\cancel{\color{blue}{18{t^3}}} + \color{red}{24{t^2}} + \color{green}{2t} - \color{maroon}{4} - \cancel{\color{blue}{18{t^3}}} - \color{red}{30{t^2}} + \color{green}{16t} + \color{maroon}{8}}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - \color{red}{6{t^2}} + \color{green}{18t} + \color{maroon}{4}}}{{{{\left({3{t^2} + 2t - 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - 6\left({t - \frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}} \right)\left({t - \frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}} \right)}}{{{{\left({t + 1} \right)}^3}{{\left({3t - 1} \right)}^3}}}. \] Следовательно, вторая производная меняет свой знак на противоположный при переходе через следующие точки (рис.\(15с\)): \[ {{t_1} = - 1:\;\;x\left({ - 1} \right) = 1,}\;\; {y\left({ - 1} \right) = 5;} \] \[ {{t_2} = \frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}:}\;\; {x\left({\frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 0,24;}\;\; {y\left({\frac{{9 - \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 0,91;} \] \[ {{t_3} = \frac{1}{3}:}\;\; {x\left({\frac{1}{3}} \right) = - \frac{5}{{27}},}\;\; {y\left({\frac{1}{3}} \right) = - \frac{{29}}{{27}};} \] \[ {{t_4} = \frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}:}\;\; {x\left({\frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 40,1;}\;\; {y\left({\frac{{9 + \sqrt {105} }}{6}} \right) \approx 40,8.} \] Поэтому указанные точки представляют собой точки перегиба кривой \(y\left(x \right).\)

Схематический график кривой \(y\left(x \right)\) показан выше на рисунке \(15b.\)

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

Преимущества построения графиков онлайн

• Визуальное отображение вводимых функций
• Построение очень сложных графиков
• Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
• Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
• Управление масштабом, цветом линий
• Возможность построения графиков по точкам, использование констант
• Построение одновременно нескольких графиков функций
• Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3) .

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

«Преобразование функций» - Качелями. Сдвиг по оси y вверх. Включи полную громкость – увеличишь a (амплитуду) колебаний воздуха. Сдвиг по оси x влево. Задачи урока. 3 балла. Музыкой. Постройте график функции и определите D(f), E(f) и T: Сжатие по оси x. Сдвиг по оси y вниз. Добавь красного цвета в палитру – уменьшишь k (частоту) электромагнитных колебаний.

«Функции нескольких переменных» - Производные высших порядков. Функцию двух переменных можно изобразить графически. Дифференциальное и интегральное исчисления. Внутренние и граничные точки. Определение предела функции 2-х переменных. Курс математического анализа. Берман. Предел функции 2-х переменных. График функции. Теорема. Ограниченная область.

«Понятие функции» - Способы построение графиков квадратичной функции. Изучение разных способов задания функции – важный методический прием. Особенности изучения квадратичной функции. Генетическая трактовка понятия «функция». Функции и графики в школьном курсе математики. Представление о линейной функции выделяется при построении графика некоторой линейной функции.

«Тема Функция» - Анализ. Нужно выяснить не то, что ученик не знает, а то, что он знает. Заложение основ для успешной сдачи ЕГЭ и поступление в ВУЗы. Синтез. Если ученики работают по-разному, то и учитель должен с ними работать по-разному. Аналогия. Обобщение. Распределение заданий ЕГЭ по основным блокам содержания школьного курса математики.

«Преобразование графиков функций» - Повторить виды преобразований графиков. Сопоставить каждому графику функцию. Симметрия. Цель урока: Построение графиков сложных функций. Рассмотрим примеры преобразований, объясним каждый вид преобразования. Преобразование графиков функций. Растяжение. Закрепить построение графиков функций с использованием преобразований графиков элементарных функций.

«Графики функций» - Функция вида. Область значений функции – все значения зависимой переменной у. Графиком функции является парабола. Графиком функции является кубическая парабола. Графиком функции является гипербола. Область определения и область значений функции. Каждую прямую соотнесите с её уравнением: Область определения функции – все значения независимой переменной х.

Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.

Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Построить график функции y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).

График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².

Пример.

Построить график функции y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):

Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.

Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.

Построить график функции y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).

Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).

В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).

Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:

Построить график функции y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.

В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.

Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.

Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.