Как называется скорость в данный момент времени. Мгновенная и средняя скорость
Способы задания движения точки.
Задать движение точки – это значит указать правило, по которому в любой момент времени можно определить её положение в заданной системе отсчёта.
Математическое выражение этого правила называется законом движения , или уравнением движения точки.
Существует три способа задания движения точки:
векторный ;
координатный ;
естественный .
Чтобы задать движение векторным способом , нужно:
à выбрать неподвижный центр;
à положение точки определить с помощью радиус-вектора , начинающегося в неподвижном центре и заканчивающемся в движущейся точке М;
à определить этот радиус-вектор как функцию от времени t: .
Выражение
называется векторным законом движения точки, или векторным уравнением движения .
!! Радиус-вектор – это расстояние (модуль вектора) + направление от центра О на точку М, которое можно определять разными способами, например, углами с заданными направлениями.
Чтобы задать движение координатным способом , нужно:
à выбрать и зафиксировать систему координат (любую: декартову, полярную, сферическую, цилиндрическую и проч.);
à определить положение точки с помощью соответствующих координат;
à задать эти координаты, как функции от времени t.
В декартовой системе координат, таким образом, надо указать функции
В полярной системе координат следует определить как функции от времени полярный радиус и полярный угол:
В общем, при координатном способе задания следует задавать как функции от времени те координаты, с помощью которых определяется текущее положение точки.
Чтобы можно было задавать движение точки естественным способом , нужно знать её траекторию . Запишем определение траектории точки.
Траекторией точки называется множество её положений за какой-либо промежуток времени (обычно – от 0 до +¥).
В примере с катящимся по дороге колесом траекторией точки 1 является циклоида , а точки 2 – рулетта ; в системе отсчёта, связанной с центром колеса, траектории обеих точек – окружности .
Чтобы задать движение точки естественным способом, нужно:
à знать траекторию точки;
à на траектории выбрать начало отсчёта и положительное направление;
à определить текущее положение точки длиной дуги траектории от начала отсчёта до этого текущего положения;
à указать эту длину как функцию от времени.
Выражение, определяющее указанную выше функцию,
называют законом движения точки по траектории , или естественным уравнением движения точки.
В зависимости от вида функции (4) точка по траектории может двигаться различным образом.
3. Траектория точки и её определение.
Определение понятия «траектория точки» был дано ранее в вопросе 2. Рассмотрим вопрос об определении траектории точки при разных способах задания движения.
Естественный способ : траектория должна быть задана, так что находить её не надо.
Векторный способ : нужно перейти к координатному способу согласно равенствам
Координатный способ : нужно из уравнений движения (2), или (3) исключить время t.
Координатные уравнения движения задают траекторию параметрически , через параметр t (время). Для получения явного уравнения кривой надо параметр исключить из уравнений.
После исключения времени из уравнений (2) получаются два уравнения цилиндрических поверхностей, например, в виде
Пересечение этих поверхностей и будет траекторией точки.
При движении точки по плоскости задача упрощается: после исключения времени из двух уравнений
уравнение траектории получится в одной из следующих форм:
При будет , поэтому траекторией точки будет правая ветвь параболы:
Из уравнений движения следует, что
поэтому траекторией точки будет часть параболы, расположенная в правой полуплоскости:
Тогда получим
Так как то весь эллипс будет траекторией точки.
При центр эллипса будет в начале координат О; при получим окружность; параметр k на форму эллипса не влияет, от него зависит скорость движения точки по эллипсу. Если в уравнениях поменять местами cos и sin, то траектория не изменится (тот же эллипс), но изменится начальное положение точки и направление движения.
Скорость точки характеризует «быстроту» изменения её положения. Формально: скорость – перемещение точки за единицу времени .
Точное определение.
Тогда Отношение
Механическим движением называют изменение с течением времени положения в пространстве точек и тел относительно какого-либо основного тела, с которым скреплена система отсчета. Кинематика изучает механическое движение точек и тел независимо от сил, вызывающих эти движения. Всякое движение, как и покой, относительно и зависит от выбора системы отсчета.
Траекторией точки называют непрерывную линию, описывае мую движущейся точкой. Если траектория - прямая линия, то движение точки называют прямолинейным, а если - кривая, то - криволинейным. Если траектория - плоская, то движение точки называют плоским.
Движение точки или тела, считается заданным или известным, если для каждого момента времени (t) можно указать положение точки или тела относительно выбранной системы координат.
Положение точки в пространстве определяется заданием:
а) траектории точки;
б) начала О 1 отсчета расстояния по траектории (Рисунок 11): s = О 1 М - криволинейная координата точки М;
в) направления положи тельного отсчета расстояний s;
г) уравнения или закона движения точки по траектории: S = s(t)
Скорость точки. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение называют равномерным. Скорость равномерного движения измеряется отношением пути з, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени: v = s/1. Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ее движение называют неравномерным. Скорость в этом случае также переменна и является функцией времени: v = v(t). Рассмотрим точку А, которая перемещается по заданной траектории по некоторому закону s = s(t) (Рисунок 12):
За промежуток времени t т. А переместилась в положение А 1 по дуге АА. Если промежуток времени Δt мал, то дугу АА 1 можно заменить хордой и найти в первом приближении величину средней скорости движения точки v cp = Ds/Dt. Средняя скорость направлена по хорде от т. А к т. А 1 .
Истинная скорость точки направлена по касательной к траектории, а ее алгебраическая величина определяется первой производной пути по времени:
v = limΔs/Δt = ds/dt
Размерность скорости точки: (v) = длима/время, например, м/с. Если точка движется в сторону увеличения криволинейной координаты s, то ds > 0, и следовательно, v > 0, а в противном случае ds < 0 и v < 0.
Ускорение точки. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением. Рассмотрим движение точки А по криволинейной траектории за время Δt из положения A в положение A 1 . В положении A точка имела скорость v , а в положении A 1 - скорость v 1 (Рисунок 13). т.е. скорость точки изменилась по величине и направлению. Геометрическую разность, скоростей Δv найдем, построив из точки A вектор v 1.
Ускорением точки называют вектора ", равный первой производной от вектора скорости точки по времени:
Найденный вектор ускорения а может быть разложен на две взаимно-перпендикулярные составляющие но касательной и нормали к траектории движения . Касательное ускорение а 1 совпадает по направлению со скоростью при ускоренном движении или противоположно ей при замененном движении. Оно характеризует изменение величи-ны скорости и равно производной от величины скорости по времени
Вектор нормального ускорения а направлен по нормали (перпендикуляру) к кривой в сторону вогнутости траектории, а модуль его равен отношению квадрата величины скорости точки к радиусу кривизны траектории в рассматриваемой точке.
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по
направлению.
Величина полного ускорения: , м/с 2
Виды движения точки в зависимости от ускорения.
Равномерное прямолинейное движение (движение по инерции) характеризуется тем, что скорость движения постоянна, а радиус кривизны траектории равен бесконечности.
То есть, r = ¥, v = const, тогда ; и поэтому . Итак, при движении точки по инерции ее ускорение равно нулю.
Прямолинейное неравномерное движение. Радиус кривизны траектории r = ¥, а n = 0, поэтому и а = а t и а = а t = dv/dt.
Скоростью точки называется вектор, определяющий в каждый данный момент времени быстроту и направление движения точки.
Скорость равномерного движения определяется отношением пути, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени.
Скорость; S- путь; t- время.
Измеряется скорость в единицах длины, деленных на единицу времени: м/с; см/с; км/ч и т.д.
В случае прямолинейного движения вектор скорости направлен вдоль траектории в сторону ее движения.
Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то данное движение называется неравномерным. Скорость является величиной переменной и является функцией времени.
Средней за данный промежуток времени скоростью точки называется скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором точка за этот промежуток времени получила бы то же самое перемещение, как и в рассматриваемом ее движении.
Рассмотрим точку М, которая перемещается по криволинейной траектории, заданной законом
За промежуток времени?t точка М переместится в положение М 1 по дуге ММ 1 .Если промежуток времени?t мал, то дугу ММ 1 можно заменить хордой и в первом приближении найти среднюю скорость движения точки
Эта скорость направлена по хорде от точки М к точке М 1 . Истинную скорость найдем путем перехода к пределу при?t> 0
Когда?t> 0, направление хорды в пределе совпадает c направлением касательной к траектории в точке М.
Таким образом, величина скорости точки определяется как предел отношения приращения пути к соответствующему промежутку времени при стремлении последнего к нулю. Направление скорости совпадает с касательной к траектории в данной точке.
Ускорение точки
Отметим, что в общем случае, при движении по криволинейной траектории скорость точки изменяется и по направлению и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением. Другими словами, ускорением точки называется величина, характеризующая быстроту изменения скорости во времени. Если за интервал времени?t скорость изменяется на величину,то среднее ускорение
Истинным ускорением точки в данный момент времени t называется величина, к которой стремится среднее ускорение при?t> 0, то есть
При отрезке времени стремящимся к нулю вектор ускорения будет меняться и по величине и по направлению, стремясь к своему пределу.
Размерность ускорения
Ускорение может выражаться в м/с 2 ; см/с 2 и т.д.
В общем случае, когда движение точки задано естественным способом, вектор ускорения обычно раскладывают на две составляющие, направленные по касательной и по нормали к траектории точки.
Тогда ускорение точки в момент t можно представить так
Обозначим составляющие пределы через и.
Направление вектора не зависит от величины промежутка?t времени.
Это ускорение всегда совпадает с направлением скорости, то есть, направлено по касательной к траектории движения точки и поэтому называется касательным или тангенциальным ускорением.
Вторая составляющая ускорения точки направлена перпендикулярно к касательной к траектории в данной точке в сторону вогнутости кривой и влияет на изменение направления вектора скорости. Эта составляющая ускорения носит название нормального ускорения.
Поскольку численное значение вектора равно приращению скорости точки за рассматриваемый промежуток?t времени, то численное значение касательного ускорения
Численное значение касательного ускорения точки равно производной по времени от численной величины скорости. Численное значение нормального ускорения точки равно квадрату скорости точки, деленному на радиус кривизны траектории в соответствующей точке кривой
Полное ускорение при неравномерном криволинейном движении точки складывается геометрически из касательного и нормального ускорений.