Скалярное произведение векторов. Записи с меткой "скалярное произведение векторов" Тест 6 скалярное произведение векторов

Вариант 1.

Вариант 2.

д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?

Вариант 1.

1. Даны точки А(1; 3), В(4; 7), С(-1; -1), D(7; 5), Q(х; 3)

а) Найдите координаты векторов АВ и CD.

б) Найдите длины векторов АВ и СD.

в) Найдите скалярное произведение векторов АВ и СD.

г) Найдите косинус угла между векторами АВ и СD .

д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?

е) При каком значении х векторы СВ и DQ перпендикулярны?

2. В равнобедренном треугольнике АВС угол В прямой, АС = 2√2, ВD – медиана треугольника. Вычислите скалярные произведения векторов BD AC, BD BC, BD BD.

Вариант 2.

1. Даны точки M(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; у).

а) Найдите координаты векторов МР и ОК.

б) Найдите длины векторов МР и ОК.

в) Найдите скалярное произведение векторов МР и ОК.

г) Найдите косинус угла между векторами МР и ОК.

д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?

е) При каком значении у векторы РК и МR перпендикулярны?

2. В равностороннем треугольнике МНР НК – биссектрисса, МН = 2. Вычислите скалярные произведения векторов НК МР, НК НР, РМ РМ

Вариант 1.

1. Даны точки А(1; 3), В(4; 7), С(-1; -1), D(7; 5), Q(х; 3)

а) Найдите координаты векторов АВ и CD.

б) Найдите длины векторов АВ и СD.

в) Найдите скалярное произведение векторов АВ и СD.

г) Найдите косинус угла между векторами АВ и СD .

д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?

е) При каком значении х векторы СВ и DQ перпендикулярны?

2. В равнобедренном треугольнике АВС угол В прямой, АС = 2√2, ВD – медиана треугольника. Вычислите скалярные произведения векторов BD AC, BD BC, BD BD.

Вариант 2.

1. Даны точки M(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; у).

а) Найдите координаты векторов МР и ОК.

б) Найдите длины векторов МР и ОК.

в) Найдите скалярное произведение векторов МР и ОК.

г) Найдите косинус угла между векторами МР и ОК.

д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?

е) При каком значении у векторы РК и МR перпендикулярны?

2. В равностороннем треугольнике МНР НК – биссектрисса, МН = 2. Вычислите скалярные произведения векторов НК МР, НК НР, РМ РМ

Данный тест может быть использован на занятиях промежуточного, обобщающего или итогового контроля знаний учащихся. Для корректной работы теста, необходимо установить низкий уровень безопасности (сервис-макрос-безопасность)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Вариант 1 Вариант 2 Использован шаблон создания тестов в PowerPoint МКОУ «Погорельская СОШ» Кощеев М.М.

Результат теста Верно: 14 Ошибки: 0 Отметка: 5 Время: 3 мин. 29 сек. ещё исправить

Вариант 1 б) 360° а) 180° в) 246° г) 274° д) 454°

Вариант 1 в) 22 а) -22 б) 0 г) 8 д) 1

Вариант 1 д) 5 г) 0 а) 7

Вариант 1 б) тупой д) не существуют, так как их начала не совпадают в) 0° г) острый а) прямой

Вариант 1 б) 10,5 д) ни при каких а) -10,5

Вариант 1 а) -10,5 б) 10,5 д) ни при каких

Вариант 1 д) 0 б) невозможно определить а) -6 г) 4 в) 6

Вариант 1 б) 28 д) невозможно определить а) 70 г) -45,5 в) 91

Вариант 1 9. Две стороны треугольника равны 16 и 5 , а угол между ними равен 120°. Какому из указанных промежутков принадлежит длина третьей стороны? г) д) (19; 31] а) (0 ; 7 ] б) (7; 11] в) а) (0 ; 7 ] б) (7; 11] г)

Вариант 1 13. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 0,5. Найдите отношение синуса угла В к длине стороны АС. д) 1 в) 1 ,3 а) 0,5 г) 2

Вариант 1 14. В треугольнике АВС длины сторон ВС и АВ равны соответственно 5 и 7, а

Вариант 2 в) 360° а) 180° б) 246° г) 274° д) 454°

Вариант 2 д) 22 а) -22 б) 0 г) 8 в) 4

Вариант 2 а) 10 г) 17 д) 15

Вариант 2 в) равен 0 ° д) не существуют, так как их начала не совпадают в) тупой г) острый а) прямой

Вариант 2 б) 10,5 д) ни при каких а) -10,5

Вариант 2 а) - 10,5 д) ни при каких в) 10,5

Вариант 2 г) 0 б) невозможно определить а) -6 д) 4 в) 6

Вариант 2 а) 70 д) невозможно определить б) 28 г) -45,5 в) 91

Вариант 2 9. Две стороны треугольника равны 12 и 7 , а угол между ними равен 60°. Какому из указанных промежутков принадлежит длина третьей стороны? д) (7; 11) г) (19; 31] а) (0 ; 7 ] б) в) д) (19; 31] в)

Вариант 2 13. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2 . Найдите отношение синуса угла В к длине стороны АС. а) 0,25 в) 1 ,3 д) 1 г) 2

Вариант 2 14. В треугольнике АВС длины сторон АС и АВ равны соответственно 9 и 7, а

Ключи к тесту: «Скалярное произведение векторов. Теоремы треугольника» . 1 вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отв. б в д б в а д б г а в в д г 2 вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отв. в д а в г б г а д г в а а г Литература Л.И. Звавич, Е,В. Потоскуев Тесты по геометрии 9 класс к учебнику Л.С. Атанасяна и др. М. : издательство «Экзамен» 2013г.- 128с.

2. Упростим уравнение, умножив обе его части на 7. Получим 7y 2 -9y+2=0. По теореме Виета сумма корней квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 равна –b/a. Значит:

3. Всего 880 пассажиров. Из них 35% мужчин, значит, женщин и детей 100%-35%=65%. Найдем 65% от 880. Чтобы найти процент от числа, нужно проценты превратить в десятичную дробь и умножить на данное число.

65%=0,65; умножаем 880 на 0,65, получаем 572. Столько женщин и детей, причем 75% от них составляют женщины, остальные 25% от 572 — это дети. Опять находим процент от числа. 25% от 572. Обращаем 25% в десятичную дробь (будет 0,25) и умножаем на 572. Считаем: 572·0,25=143. Это дети. Женщин: 572-143=429 .

А короче?

25% — это четверть от 100%, поэтому, рассуждаем так: 572 делим на 4, получаем 143 (разделить на 4 проще, чем умножать на 0,25)- это дети, а женщин 75% — это три четверти, поэтому, 143 умножаем на 3 и получаем 429.

4. По условию составляем неравенство:

11x+3<5x-6; слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства, а свободные члены — в правой:

11x-5x<-6-3; приводим подобные слагаемые:

6x<-9; делим обе части неравенства на 6:

x<-1,5. Ответ: Е).

5. 990° запишем в виде 2·360°+270°. Тогда cos 990° =cos(2·360°+270°)=cos 270°=0.

6. Применим формулу для решения простейшего уравнения tg t=a.

t=arctg a +πn, nєZ. У нас t=4x.

7. Имеем: первый член арифметической прогрессии a 1 =25 . Разность арифметической прогрессии d =a 2 -a 1 =30-25=5. Применим формулу для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии и подставим в нее наши значения a 1 =25, d=5 и n=22 , так как требуется найти сумму 22 членов прогрессии.

8. Графиком данной квадратичной функции y=x 2 -x-6 служит парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина параболы находится в точке O’(m; n) . Это самая нижняя точка графика, поэтому, свое наименьшее значение n функция будет иметь при x=m=-b/(2a)=1/2. Ответ: D).

9. У равнобедренного треугольника боковые стороны равны между собой. Обозначим основание через х . Тогда каждая боковая сторона будет равна (х+3) . Зная, что периметр треугольника равен 15,6 см , составим уравнение:

х+(х+3)+(х+3)=15,6;

3х=9,6 → х=3,2 — это основание треугольника, а каждая боковая сторона будет равна 3,2+3=6,2 . Ответ: стороны треугольника равны 6,2 см; 6,2 см и 3,2 см .

10. С первым неравенством системы все ясно. Решаем второе неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни квадратного трехчлена 4x 2 +5x-6 и разложим его на линейные множители.

11. Cправа по основному логарифмическому тождеству получается 7 . Опускаем основания степеней (7) в левой и в правой частях равенства. Остается: x 2 =1 , отсюда х=±1. Ответ: С).

12. Возведем обе части равенства в квадрат. Применив формулы логарифма степени и логарифма произведения, получим квадратное уравнение относительно логарифма числа 5 по основанию х . Введем переменную у , решим квадратное уравнение относительно у и вернемся к переменной х . Найдем значения х и проанализируем ответы.

13. Задание: решить систему. Не будем решать — сделаем проверку. Подставим предложенные ответы во второе уравнение системы, так как оно проще: х+у=35 . Из всех предложенных пар решений системы подходит только ответ D) .

8+27=35 и 27+8=35 . Подставлять эти пары в первое уравнение системы не стоит, а вот если бы ко второму уравнению подошел бы еще один из ответов, то пришлось бы делать подстановку и в первое равенство системы.

14. Область определения функции — это множество значений аргумента х, при которых правая часть равенства имеет смысл. Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то должно выполняться условие: 6+2х≥0 , отсюда следует, что 2х≥-6 или х≥-3. Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, то запишем: х≠5 . Получается, что можно брать все числа, большие или равные -3 , но не равные 5 . Ответ: [-3; 5)U(5; +∞).

15. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат этому отрезку, а затем из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

16 . Рассмотрим круг, вписанный в правильный шестиугольник и вспомним, как выражается радиус вписанной окружности r через сторону правильного шестиугольника а . Найдем радиус, затем сторону и периметр шестиугольника.

17 . Так как все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом, то вершина пирамиды проектируется в точку О - пересечения диагоналей прямоугольника, лежащего в основании пирамиды, ведь точка О должна быть равноудалена от всех вершин основания пирамиды.

Находим диагональ AC прямоугольника ABCD. AC 2 =AD 2 +CD 2 ;

AC 2 =32 2 +24 2 =1024+576=1600 → AC=40см. Тогда ОС=20см. Так как Δ МОС – прямоугольный и равнобедренный (/ ОСМ=45°), то МО=ОС=20см. Применим формулу объема пирамиды, подставив нужные значения.

18. Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

Пусть круг с центром в точке О 1 и радиусом ОА перпендикулярен радиусу шара ОВ и проходит через его середину О 1 . Тогда в прямоугольном треугольнике АО 1 О гипотенуза ОА=10 см (радиус шара), катет ОО 1 =5см. По теореме Пифагора О 1 А 2 =ОА 2 -ОО 1 2 . Отсюда О 1 А 2 =10 2 -5 2 =100-25=75. Площадь сечения – это площадь нашего круга, найдем по формуле S=πr 2 =π∙O 1 A 2 =75π см 2 .

19. Пусть а 1 и а 2 – искомые координаты вектора. Так как векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Запишем: 2а 1 +7а 2 =0. Выразим а 1 через а 2 . Тогда а 1 =-3,5а 2 . Так как длины векторов равны, то имеем равенство: а 1 2 +а 2 2 =2 2 +7 2 . Подставим в это равенство значение а 1 . Получаем: (3,5а 2) 2 +а 2 2 =4+49; упрощаем: 12,25а 2 2 +а 2 2 =53;

13,25а 2 2 =53, отсюда а 2 2 =53:13,25=4. Получается два значения а 2 =±2. Если а 2 =-2, то а 1 =-3,5∙(-2)=7. Если а 2 =2, то а 1 =-7. Искомые координаты (7; -2) или (-7; 2) . Ответ: В).

20. Упростим знаменатель дроби. Для этого раскроем скобки и приведем дроби под знаком корня к общему знаменателю.

21. Выражение в скобках приведем к общему знаменателю. Деление заменяем умножением на дробь, обратную делителю. Применяем формулы квадрата разности двух выражений и разности квадратов двух выражений. Сократим дробь.

22. Чтобы решить данную систему неравенств, нужно решить каждое неравенство отдельно и найти общее решение двух неравенств. Решаем 1-ое неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть, вынесем общий множитель за скобку.

x 2 ∙4 x -4 x +1 >0;

x 2 ∙4 x -4 x ∙4>0;

4 x (x 2 -4)>0. Так как показательная функция при любом показателе принимает только положительные значения, то 4 х >0, следовательно, и x 2 -4>0.

(x-2)(x+2)>0.

Решаем 2-ое неравенство.

Представляем левую и правую части в виде степеней с основанием 2.

2 - x ≥2 3 . Так как показательная функция с основанием большим единицы, возрастает на R , опускаем основания, сохраняя знак неравенства.

X≥3 → x≤-3.

Находим общее решение.

Ответ: (-∞; -3].

23. По формуле приведения косинус преобразуется в синус 3х . После приведения подобных слагаемых и деления обеих частей неравенства на 2 , получим простейшее неравенство вида: sin t > a . Решение этого неравенства находим по формуле:

arcsin a+2πnУ нас t=3x.