Максимальная скорость бруска на пружине формула. Решение задач механики с помощью законов сохранения

Снова здравствуйте. Мы с вами успели вполне успешно закончить со школьной алгеброй, и, значит, можем переходить к более сложным вещам - например, к тому разделу математики, который в университетах обычно называют линейной алгеброй. Конечно, раздел этот весьма и весьма обширен, и нечего даже думать о том, чтобы охватить хотя бы большую его часть. Тем не менее, нам с вами, я так думаю, кое-что из него научиться использовать практически вполне по силам - к примеру, мы можем научиться работать в MathCAD’е с векторами и матрицами. Эти два понятия - важнейшие математические абстракции, роль которых трудно переоценить в научно-техническом прогрессе. Ведь именно применение векторов и векторного анализа позволило в свое время Оливеру Хевисайду сократить количество уравнений Максвелла, описывающих электромагнитное поле, с двух десятков до всего лишь четырех. До векторного анализа, я так думаю, мы с вами в свое время еще доберемся, ну, а пока займемся более прозаическими вещами. Какими именно? Думаю, все станет ясно, если вы продолжите читать эту статью.
Немного об элементах матриц

Хотя дальше мы будем иметь дело и с векторами, и с матрицами, я краткости ради буду говорить просто «матрица», подразумевая, что под вектором мы будем иметь в виду частный случай матрицы, а именно ту ее разновидность, которая представляет собой одиночный столбец. Если же вектор будет представлять собой строку, то это будет специально оговорено. Впрочем, думаю, до этого дело вряд ли дойдет. С матрицами, вообще говоря, мы с вами работать уже немного умеем. Ну, не то чтобы прямо так вот работать - по крайней мере, вводить их в MathCAD’е мы уже вводили. Тем не менее, думаю, будет не лишним напомнить, что ввести в рабочую область матрицу можно с помощью кнопки Matrix or Vector, расположенной на панели Matrix, либо с помощью сочетания горячих клавиш Ctrl+M. Впрочем, мы с вами пока не затрагивали один небольшой, но крайне важный момент, а именно как обращаться в вычислениях не к матрице целиком, а к отдельным ее элементам. Сделать это, на самом деле, очень просто. Пусть у нас задана квадратная матрица X размером два на два элемента. Верхний левый элемент будет иметь индексы 0,0; нижний правый, соответственно, будет иметь индексы 1,1. То есть, как видите, элементы матрицы нумеруются с нуля. Это, в общем-то, довольно удобно, однако, если для вас привычнее нумеровать их с единицы, или, скажем, с 1024-х, то можно поменять значение встроенной переменной ORIGIN, введя в самом начале документа MatchCAD в строку (без кавычек). Или, соответственно, «ORIGIN:= 1024». Можно поменять значение переменной и в окне опций MathCAD’а, выбрав в меню Tools пункт Worksheet options и на вкладке Built-In Variables поменяв значение переменной ORIGIN на нужное вам.

Так вот, вернемся к нашим элементам матрицы. Чтобы «вынуть» из нее первый элемент, нужно написать следующее: X0, 0. Для того, чтобы записать индексы внизу от имени переменной, которая обозначает матрицу, можно воспользоваться кнопкой Subscript со все той же панели инструментов для матричных и векторных вычислений или с клавиатуры перейти в нижний индекс клавишей «[» (русское «х»). Обратите внимание, что для разделения индексов, обозначающих строку и столбец, используется запятая. Элементы матрицы можно не только извлекать из матрицы, заданной таблично. Вы можете задать несколько элементов с соответствующими индексами по ходу вычисления, а после уже MathCAD самостоятельно сформирует из них матрицу (но только когда вы зададите уже все ее элементы - в противном случае незаданным элементам будут присвоены нулевые значения). Вы можете использовать ранжированные переменные для задания элементов матрицы. Временами это бывает не просто удобно, а очень удобно. Так, к примеру, можно задать для матрицы X следующую формулу, описывающую значения каждого ее элемента i-й строки и j-го столбца: Xi, j:= i * j. Перед таким определением элементов матрицы остается только определить диапазон, в котором будут изменяться i и j. Я для примера взял значения i:= 0..5 и j:= 0..5, но вы, конечно же, можете установить любой другой нужный вам диапазон в зависимости от требований вашей задачи, решаемой с помощью матриц в среде MathCAD.

Операции над матрицами

Конечно, у применения матриц в реальных задачах существует множество интересных и не очень аспектов, однако все они рано или поздно упираются в необходимость проведения с матрицами простых алгебраических операций. Проводить их вручную - задача трудоемкая, и можно потратить время с гораздо большей пользой, переложив рутинную работу на MathCAD. Для начала познакомимся с теми функциями, которые собственно никаких математических операций не выполняют, но при этом являются весьма важными в действиях с матрицами. Эти функции позволяют объединять две матрицы в одну (не складывать матрицы, а просто объединять их элементы) и выделять из матрицы другую матрицу. Первая из функций - augment. Она объединяет две матрицы, имеющие одинаковое число строк, таким образом, что из них образуется одна, в которой элементы этих двух располагаются, что называется, «плечом к плечу». В качестве аргументов этой функции нужны только две объединяемые матрицы. Ее аналог для тех матриц, которые имеют одинаковое число столбцов, и должны быть объединены одна над другой, является функция stack. Ее аргументами тоже должны быть две объединяемые матрицы. Функция же, которая не объединяет, а, напротив, «разрезает» матрицы, имеет название submatrix. Для нее нужно указывать имя матрицы, из которой мы хотим выделить подматрицу, и координаты элементов новой матрицы в старой матрице. То есть для того, чтобы вырезать матрицу 4х4 из верхних левых элементов матрицы размером 5х5, нам нужно вызывать эту функцию со следующими параметрами: submatrix(Y, 0, 4, 0, 4). Здесь Y - это, конечно же, имя матрицы размером 5х5 элементов. Демонстрацию использования всех этих функций применительно к конкретным матрицам можно увидеть на соответствующей иллюстрации к статье.

Теперь, я так думаю, самое время перейти уже к арифметическим операциям над матрицами. Вы увидите, что их использование в MathCAD не потребует от вас никаких специальных знаний в области линейной алгебры - не считая, конечно, общих представлений о том, как работают матричные операции, для понимания того, что может получиться в их итоге. MathCAD хорош для пользователя тем, что позволяет ему работать с векторами и матрицами точно так же, как с обычными скалярами, сиречь переменными, содержащими исключительно и только действительные числа. Попробуйте задать две матрицы (я их назвал aa и bb), а затем применить к ним операцию сложения точно так же, как когда-то применяли ее к обыкновенным числам. Конечно, для того, чтобы матрицы можно было складывать, они должны иметь одинаковые размеры. Точно так же можете попробовать вычесть из одной матрицы другую или перемножить их. Вы увидите, что MathCAD успешно справляется с подобными задачами, не напрягая пользователя излишними вычислениями.

Транспонировать матрицы в MathCAD’е ничуть не сложнее, чем их складывать или перемножать. Вычислять обратные матрицы, впрочем, тоже. Во всех этих задачах помогут соответствующие операторы с Они обозначены на ней теми же значками, что и в учебниках по линейной алгебре, а потому пользователю, хотя бы минимально знакомому с матричным исчислением, все должно быть просто и понятно. Нужно только помнить, что нельзя вычислить обратную матрицу для той матрицы, которая является вырожденной (то есть имеет нулевые или пропорциональные друг другу строки или столбцы). Для того, чтобы не останавливаться излишне подробно на этих простых операциях, просто приведу иллюстрацию, демонстрирующую их практическое использование. Думаю, у читателей не возникнет никаких проблем ни с транспонированием, ни с вычислением обратной матрицы с помощью MathCAD.

Еще одной часто выполняемой операцией является вычисление детерминанта, или определителя матрицы. Думаю, что совсем не огорчу вас известием о том, что в MathCAD и с определителями работать так же просто, как и со всем остальным, связанным с матрицами. За его вычисление отвечает кнопка Determinant, расположенная, конечно же, на панели Matrix. Поскольку детерминант в MathCAD’е, как и вообще в линейной алгебре, обозначается с помощью символов прямых черт, ограничивающих матрицу (или имя переменной, ее обозначающей), то вполне логично, что вставить эти самые прямые черты в текст выражения можно с помощью соответствующей клавиши на клавиатуре: Shift + \. Думаю, этой несложной комбинацией будет пользоваться все же удобнее, чем искать каждый раз нужную кнопку на панели инструментов MathCAD’а.

Внешний вид матриц

Мы с вами, конечно же, далеко еще не закончили свое знакомство с матрицами в MathCAD’е, однако, думаю, на сегодня уже непосредственной математики хватит. В конце статьи я лучше расскажу о том, как можно изменить способ отображения матриц в среде MathCAD - возможно, кому-то из читателей этой статьи эта информация будет полезной и небезынтересной.

Дело в том, что MathCAD может отображать матрицы не только в привычном всем виде чисел, заключенных в скобки, но и в виде таблиц. Если вы используете этот математический пакет для каких-либо статистических расчетов и при этом работаете с большими массивами данных, то, безусловно, такое отображение матриц будет более предпочтительным для вас, чем традиционное. Для изменения способа отображения матриц дважды кликните по нужной матрице и в появившемся окне перейдите на вкладку Display Options. Далее в поле Matrix display style выберите значение Table. Матрица приобретет вид точно такой, как на соответствующей иллюстрации к этой статье.

Внешний вид таблицы можно также настроить далее, кликнув по ней правой кнопкой мыши и выбрав пункт Properties. В появившемся окне можно снять птичку с пункта Show column/row labels, чтобы убрать отображение нумерации строк и столбцов в матрице, представляемой в виде таблицы. На вкладке Data Range можно выбрать диапазон отображаемых строк и столбцов матрицы, что также полезно для матриц, содержащих большое количество элементов.

Ну что ж, на сегодня, думаю, достаточно. Это только начало работы с матрицами - в следующий раз мы поговорим о гораздо более интересных вещах, чем просто сложение, транспонирование и вычисление детерминанта.

Задача по физике - 4424

2017-10-21
К бруску массы $m$, лежащему на горизонтальной плоскости, прикреплена легкая пружина жесткости $k$, второй конец которой закреплен так, что пружина не деформирована, а ее ось горизонтальна и проходит через центр, масс бруска Брусок смешают вдоль оси пружины на расстояние $\Delta L$ и отпускают без начальной скорости. Найти максимальную скорость бруска, если его коэффициент трения о плоскость равен $\mu$.

Решение:

Будем предполагать, что при заданном смешении бруска деформация пружины является полностью упругой. Тогда на основании закона Гука можно считать, что на брусок со стороны пружины в момент отпускания действует сила $F_{пр} = k \Delta L$, направленная горизонтально вдоль оси пружины. Действующую же на брусок силу реакции плоскости можно представить в виде двух составляющих: перпендикулярной и параллельной этой плоскости. Величину нормальной составляющей силы реакции $N$ можно определить на основании второго закона Ньютона, предполагая, что система отсчета, неподвижная относительно этой плоскости, является инерциальной, а брусок может двигаться только вдоль данной плоскости. Пренебрегая действием на"брусок воздуха, получим: $N - mg = 0$, где $g$ -величина ускорения свободного падения. Согласно закону Кулона при неподвижном бруске максимальная величина параллельной составляющей силы реакции - силы сухого трения покоя - равна $\mu N$. Поэтому при $k \Delta L \leq \mu mg$ брусок после отпускания должен оставаться неподвижным. Если же $k \Delta L > \mu mg$, то после отпускания брусок начнет двигаться с некоторым ускорением. Поскольку линия действия силы со стороны пружины проходит через центр масс бруска, а сила трения направлена противоположно его скорости, брусок будет двигаться поступательно. При этом деформация пружины будет уменьшаться, а, следовательно, должно уменьшаться и ускорение бруска. В тот момент, когда сумма действующих на брусок сил обратится в нуль, скорость бруска станет максимальной. Если, как обычно, считать, что величина силы сухого трения скольжения не зависит от скорости и равна максимальному значению силы сухого трения покоя, то, пренебрегая в соответствии с условием задачи массой пружины, величину деформации $\Delta x$ пружины в интересующий нас момент легко вычислить из соотношения $k \Delta x = \mu mg$. Вспоминая выражения для расчета кинетической энергии поступательно движущегося твердого тела, потенциальной энергии упруго деформированной пружины и учитывая, что смещение бруска к этому моменту станет равным $\Delta L - \Delta x$, на основании закона изменения механической энергии можно утверждать, что максимальная скорость $v_{max}$ бруска должна удовлетворять уравнению:

$\frac{k \Delta L^{2}}{2} = \frac{k \Delta x^{2}}{2} + \frac{mv_{max}^{2}}{2} + \mu mg (\Delta L - \Delta x)$.

Из сказанного следует, что максимальная скорость бруска при сделанных предположениях должна быть равна

$v_{max} = \begin{cases} 0, & \text{при} k \Delta L \leq \mu mg \\ \sqrt{ \frac{k}{m}} \left (\Delta L - \frac{ \mu mg}{k} \right) & \text{при} k \Delta L > \mu mg \end{cases}$.

Кандидат физико-математических наук В. ПОГОЖЕВ.

(Окончание. Начало см. "Наука и жизнь" № )

Публикуем последнюю часть задач по теме "Механика". Очередная статья будет посвящена колебаниям и волнам.

Задача 4 (1994 г.). С горки, плавно переходящей в горизонтальную плоскость, с высоты h соскальзывает небольшая гладкая шайба массой m . На плоскости стоит гладкая подвижная горка массой М и высотой Н > h . Сечения горок вертикальной плоскостью, проходящей через центры масс шайбы и подвижной горки, имеют вид, показанный на рисунке. На какую максимальную высоту х может подняться по неподвижной горке шайба после того, как она первый раз соскользнет с подвижной горки?

Решение. Горка, на которой первоначально находилась шайба, по условию задачи неподвижна и, следовательно, жестко скреплена с Землей. Если, как это обычно и делается при решении подобных задач, учитывать лишь силы взаимодействия шайбы с горками и силу тяжести, поставленную задачу можно решить, используя законы сохранения механической энергии и импульса. Лабораторную систему отсчета, как уже отмечалось в решении предыдущих задач (см. "Наука и жизнь" № ), можно считать инерциальной. Решение задачи разделим на три этапа. На первом этапе шайба начинает скользить с неподвижной горки, на втором - взаимодействует с подвижной горкой, а на последнем - поднимается вверх по неподвижной горке. Из условия задачи и сделанных предположений следует, что шайба и подвижная горка могут двигаться лишь поступательно так, чтобы их центры масс все время оставались в одной и той же вертикальной плоскости.

С учетом сказанного и того, что шайба гладкая, систему "Земля с неподвижной горкой - шайба" во время первого этапа следует считать изолированной и консервативной. Поэтому, согласно закону сохранения механической энергии, кинетическая энергия шайбы W к =mv 1 2 /2 при ее движении по горизонтальной плоскости после соскальзывания с горки должна быть равна mgh , где g - величина ускорения свободного падения.

Во время второго этапа шайба вначале станет подниматься по подвижной горке, а затем, достигнув некоторой высоты, с нее соскальзывать. Это утверждение вытекает из того, что в результате взаимодействия шайбы с подвижной горкой последняя, как уже было сказано, к моменту окончания второго этапа должна двигаться поступательно с некоторой скоростью u , удаляясь от неподвижной горки, то есть в направлении скорости v 1 шайбы в конце первого этапа. Поэтому даже если бы высота подвижной горки была равна h , шайба не смогла бы ее преодолеть. Учитывая, что сила реакции со стороны горизонтальной плоскости на подвижную горку, как и силы тяжести, действующие на эту горку и шайбу, направлены вертикально, на основании закона сохранения импульса можно утверждать, что проекция v 2 скорости шайбы в конце второго этапа на направление скорости v 1 шайбы в конце первого этапа должна удовлетворять уравнению

mυ 1 = mυ 2 + Mи (1)

С другой стороны, согласно закону сохранения механической энергии, указанные скорости связаны соотношением

, (2)

поскольку система "Земля - подвижная горка - шайба" оказывается при сделанных предположениях изолированной консервативной, а ее потенциальная энергия в начале и в конце второго этапа одинакова. Учитывая, что после взаимодействия с подвижной горкой скорость шайбы в общем случае должна измениться (v 1 - v 2 ≠ 0), и воспользовавшись формулой разности квадратов двух величин, из соотношений (1) и (2) получим

υ 1 + υ 2 = и (3)

а затем из (3) и (1) определим проекцию скорости шайбы в конце второго этапа на направление ее скорости перед началом взаимодействия с подвижной горкой

Из соотношения (4) видно, что v 1 ≠ v 2 при m ≠ M и шайба будет двигаться к неподвижной горке после соскальзывания с подвижной только при m < M .

Применив вновь закон сохранения механической энергии для системы "Земля с неподвижной горкой - шайба", определим максимальную высоту подъема шайбы по неподвижной горке х =v 2 2 /2 g . После простейших алгебраических преобразований окончательный ответ можно представить в виде

Задача 5 (1996 г.). Лежащий на горизонтальной плоскости гладкий брусок массой М прикреплен к вертикальной стене легкой пружиной жесткости k . При недеформированной пружине брусок торцом касается грани кубика, масса m которого много меньше М. Ось пружины горизонтальна и лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центры масс кубика и бруска. Сдвигая брусок, пружину сжимают вдоль ее оси на величину ∆x , после чего брусок отпускают без начальной скорости. На какое расстояние передвинется кубик после идеально упругого удара, если коэффициент трения кубика о плоскость достаточно мал и равен μ?

Решение. Будем считать, что выполнены стандартные предположения: лабораторная система отсчета, относительно которой первоначально покоились все тела, инерциальна, а на рассматриваемые тела действуют только силы взаимодействия между ними и силы тяжести, и, кроме того, плоскость соприкосновения бруска и кубика перпендикулярна оси пружины. Тогда, учитывая заданное в условии положение оси пружины и центров масс бруска и кубика, можно полагать, что эти тела могут двигаться лишь поступательно.

После отпускания брусок начинает двигаться под действием сжатой пружины. В момент касания бруском кубика по условию задачи пружина должна стать недеформированной. Поскольку брусок гладкий и движется по горизонтальной плоскости, силы тяжести и реакции плоскости не совершают над ним работы. По условию массой пружины (а потому и кинетической энергией ее движущихся частей) можно пренебречь. Следовательно, кинетическая энергия поступательно движущегося бруска в момент касания им кубика должна стать равной потенциальной энергии пружины в момент отпускания бруска, а потому скорость бруска в этот момент должна быть равна .

При касании бруском кубика происходит их соударение. При этом сила трения, действующая на кубик, изменяется от нуля до mmg , где g - величина ускорения свободного падения. Полагая, как обычно, что время соударения бруска и кубика мало, можно пренебречь импульсом силы трения, действующей на кубик со стороны плоскости, по сравнению с импульсом силы, действующей на кубик со стороны бруска за время удара. Поскольку смещение бруска за время удара мало, а в момент касания кубика пружина по условию задачи не деформирована, считаем, что пружина во время соударения на брусок не действует. Поэтому систему "брусок - кубик" во время соударения можно полагать замкнутой. Тогда, согласно закону сохранения импульса, должно выполняться соотношение

M v = MU + m u, (1)

где U и u - соответственно скорости бруска и кубика непосредственно после соударения. Работа сил тяжести и нормальной составляющей сил реакции плоскости, действующих на кубик и брусок, равна нулю (эти силы перпендикулярны их возможным перемещениям), удар бруска о кубик идеально упругий, и в силу малой длительности соударения смещением кубика и бруска (а следовательно, и работой сил трения и деформации пружины) можно пренебречь. Поэтому механическая энергия рассматриваемой системы должна оставаться неизменной и имеет место равенство

M υ 2 /2 = MU 2 /2 + mи 2 /2 (2)

Определив из (1) скорость бруска U и подставив ее в (2), получим 2M vu =(M +m )u 2 , а так как по условию задачи m << M , то 2vu =u 2 . Отсюда с учетом возможного направления движения следует, что кубик после соударения приобретает скорость, величина которой

(3)

а скорость бруска останется неизменной и равной v . Следовательно, после удара скорость кубика должна превышать скорость бруска вдвое. Поэтому после удара на кубик в горизонтальном направлении вплоть до его остановки действует лишь сила трения скольжения μmg и, следовательно, кубик станет двигаться равнозамедленно с ускорением μg . На брусок же после соударения в горизонталь ном направлении действует только сила упругости пружины (брусок гладкий). Следовательно, скорость бруска изменяется по гармоническому закону, и, пока кубик движется, он опережает брусок. Из сказанного следует, что брусок от положения равновесия может сместиться на расстояние ∆х . Если коэффициент трения μ достаточно мал, повторного соударения бруска с кубиком не произойдет, а потому искомое смещение кубика должно быть

L = и 2 / 2μg = 2k (∆x) 2 / μM g.

Сопоставив это расстояние с ∆х , получим, что приведенный ответ верен при μ ≤ 2k ∆x / M g

Задача 6 (2000 г.). На край доски, лежащей на гладкой горизонтальной плоскости, кладут небольшую шайбу, масса которой в k раз меньше массы доски. Шайбе щелчком сообщают скорость, направленную к центру доски. Если эта скорость больше u , то шайба соскальзывает с доски. С какой скоростью будет двигаться доска, если скорость шайбы будет в n раз больше u (n > 1)?

Решение. При решении задачи, как обычно, пренебрежем влиянием воздуха и будем считать, что система отсчета, связанная со столом, инерциальна, а шайба после удара движется поступательно. Отметим, что это возможно лишь в том случае, когда линия действия импульса внешней силы и центр масс шайбы лежат в одной вертикальной плоскости. Поскольку по условию задачи шайба при начальной скорости, меньшей u , не соскальзывает с доски, необходимо считать, что при скольжении шайбы по доске между ними действуют силы трения. Учитывая, что после щелчка шайба движется по доске к ее центру, а сила трения скольжения направлена антипараллельно относительно скорости, можно утверждать, что и доска должна начать двигаться по столу поступательно. Из ранее сказанного и закона сохранения импульса (поскольку доска находится на гладкой горизонтальной плоскости) следует, что скорость шайбы непосредственно после щелчка u ш, ее скорость v ш и скорость доски V д в момент соскальзывания шайбы должны удовлетворять соотношению

m u ш = M V д + m v ш,(1)

где m - масса шайбы, а M - масса доски, если u ш > u . Если же u ш ≤ u , то по условию задачи шайба не соскальзывает с доски, и, следовательно, по прошествии достаточно большого промежутка времени скорости доски и шайбы должны стать равными. Полагая, как обычно, величину силы сухого трения скольжения не зависящей от скорости, пренебрегая размерами шайбы и учитывая, что перемещение шайбы относительно доски к моменту соскальзывания не зависит от ее начальной скорости, с учетом ранее сказанного и на основании закона изменения механической энергии можно утверждать, что при u ш ≥ u

mu ш 2 / 2 = MV д 2 / 2 + m υ ш 2 / 2 + A,(2)

где А - работа против сил трения, причем при u ш > u V д < v ш, а при u ш =u V д =v ш. Учитывая, что по условию M /m =k , из (1) и (2) при u ш =u после алгебраических преобразований получим

а так как при u ш =nu из (1) следует, что

υ ш 2 = n 2 и 2 + k 2 V д 2 - 2nkи V д (4)

искомая скорость доски должна удовлетворять уравнению

k (k + 1) V д 2 - 2nkиV д + kи 2 /(k + 1) = 0. (5)

Очевидно, что при n →∞ время взаимодействия шайбы с доской должно стремиться к нулю и, следовательно, искомая скорость доски по мере увеличения n (после того, как оно превысит некоторое критическое значение) должна уменьшаться (в пределе до нуля). Поэтому из двух возможных решений уравнения (5) условиям задачи удовлетворяет

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

Таким образом, груз некоторой массы m , прикрепленный к пружине жесткости k , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .

Круговая частота ω 0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона :

При горизонтальном расположении системы пружина-груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x 0 , равную

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω 0 или период T . Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда x m и начальная фаза φ 0 , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x m = Δl , φ 0 = 0.

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость ± υ 0 , то ,

Таким образом, амплитуда x m свободных колебаний и его начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями .

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M упр упругой деформации кручения:

где I = I C - момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε - угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Свободные колебания. Математический маятник

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити . При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F τ = -mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l , то его угловое смещение будет равно φ = x / l . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x , а

Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15-20°; при этом величина отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .

Следовательно,

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид (см. §1.23)

Здесь ω 0 - собственная частота малых колебаний физического маятника .

Следовательно,

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

Окончательно для круговой частоты ω 0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:

Превращения энергии при свободных механических колебаниях

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия - это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника - это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине (см. §2.2):

В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими (рис. 2.4.2).

Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз, называется временем затухания .

Частота свободных колебаний зависит от скорости затухания колебаний. При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако, изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших силах трения, когда собственные колебания быстро затухают.

Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q . Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ, умноженное на π:

Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном одному периоду колебаний.

Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными .

Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 .

Если свободные колебания происходят на частоте ω 0 , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы .

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса - вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω 0 . Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону

Если левый конец пружины смещен на расстояние y , а правый - на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δl равно:

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части - это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое - внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой .

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: Тогда запишется в виде

Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты - частоту ω 0 свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону

Амплитуда вынужденных колебаний x m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω 0 и ω и от амплитуды y m внешней силы.

На очень низких частотах, когда ω << ω 0 , движение тела массой m , прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x (t ) = y (t ), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при ω << ω 0 стремится к нулю.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω 0 , возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом . Зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2).

При резонансе амплитуда x m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду y m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Вынужденные колебания - это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными , а процесс незатухающих колебаний в таких системах - автоколебаниями . В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента - колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 2.5.3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 2.5.4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник - балансиром - маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир.

Источником энергии - поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

Рисунок 2.5.4. Часовой механизм с маятником.