Тема урока: «Вычисление площадей с помощью интегралов. Тема урока: "Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла" Краткие теоретические сведения

Тема урока : «Вычисление площадей с помощью интегралов»

Цель урока :

воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при нахождении площади криволинейной трапеции, используя формулу Ньютона-Лейбница, научить находить площади фигур, используя ранее изученную теорию. Развивать навыки самоконтроля, грамотно выполнять построение чертежей и использовать их для иллюстрации решения. Обобщить и систематизировать теоретический материал по теме. Отработать навыки вычисления первообразных для функций. Отработать навыки вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.

Структура урока:

1. Орг. Момент

2. Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний и умений

3. Новый материал

4. Закрепление (работа в группах) дифференцированный контроль

5. Дом. зад.(дифференцированное)

Методы : объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, практический.

Тип учебного занятия: интегрированный урок

Формы работы : фронтальная, групповая.

Ход урока :

I Орг. Момент

II Проверка дом. зад :. Повторить понятие первообразной, основные формулы. (теоретич. материал)

Вспомнить алгоритм построения квадратичной функции (фронт. беседа)

Программированный контроль

На столах у каждого кадета лежит данная самостоятельная работа, которая дает возможность проверить выполнение дом. раб. Правильный ответ обводят и сдают на проверку.

III Теоретический материал

Задача 1 : Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, прямыми x=a, x=b и графиком функции y=f(x)

y(x)=9-x2, x=-1, x=2

Один кадет вызывается к доске и с помощью программы Advanced Grapher строит криволинейную трапецию и полученный результат выводит на интерактивную доску. Остальные работают в тетрадях и затем сверяются с доской

На доске заштриховывают криволинейную трапецию, оформляют решение

https://pandia.ru/text/78/387/images/image015_18.jpg" width="476" height="359">

В ходе фронтальной беседы заштрихуем фигуру, площадь которой нам нужно найти

Перед кадетами ставится вопрос: «Полученная фигура является криволинейной трапецией? Как основываясь на ранее полученные знания можно вычислить площадь данной фигуры?»

Как найти пределы интегрирования для каждой криволинейной трапеции?

Найдем точки пересечения этих двух функций:

x 2 =2 x - x 2 (ответ учащихся)

Вывод: Sф=∫x2dx + ∫(2x-x2)dx=1 (на доске выводится только ответ). Для слабых работают консультанты.

· Строим графики функций

Sф=∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx

https://pandia.ru/text/78/387/images/image017_20.jpg" width="512" height="260 src=">Используя этот же чертеж, вычислите площадь заштрихованной фигуры:

Кадет на доске увеличивает масштаб чертежа для лучшей наглядности.

Как найти площадь данной фигуры?

Учащиеся делают вывод, что данная фигура состоит из двух криволинейных трапеций.

Дайте запишем полученный результат в общем виде (кадеты делают вывод самостоятельно, учитель играет только направляющую роль)

· Строим графики функций

· Находим абсциссы точек пересечения графиков функций f(x)=g(x), x1, x2

Sф=∫(g(x)-f(x))dx

https://pandia.ru/text/78/387/images/image019_16.jpg" width="396" height="297 src=">Кадеты делают вывод:

IV Закрепление (диф. работа в группах)

1 группа: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

y(x)=x2+2, g(x)=4-x

2 группа: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

y(x)=-x2-4x, g(x)=x+4

3 группа: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

y(x)=4/x2, g(x)=-3x+7

На доске выводится ключ для самопроверки:

Подведение итогов:

· Как вычисляется площадь криволинейной трапеции?

· Какие из заштрихованных фигур (см. чертежи в тетради) являются криволинейными трапециями?

· Почему другие фигуры нельзя назвать криволинейными трапециями? Как находится их площадь?

V Диф. дом. Работа

1 группа: № 000,№ 000(2), № 000(1)

2 группа: № 000(2), № 1, № 000(4)

Разделы: Математика

Цели урока: обобщение и совершенствование знаний по данной теме.

Задачи:

• Обучающие:
  • организация общения на уроке (учитель – ученик, ученик – учитель);
  • реализация дифференцированного подхода к обучению;
  • обеспечить повторение основных понятий.
• Развивающие:
  • развивать умение выделять главное;
  • логически излагать мысли.
• Воспитательные:
  • формирование культуры учебной деятельности и информационной культуры;
  • воспитание умения преодолевать трудности.

Схема урока.

При просмотре презентации обучающиеся отвечают на вопросы:

1. Что называется криволинейной трапецией?
2. Чему равна площадь криволинейной трапеции?
3. Дайте определение интеграла.

Класс разбит на 2 подгруппы. Первая подгруппа более сильная, чем вторая, поэтому 2 подгруппа сначала работает с учителем (повторяет правила вычисления интегралов – проверка идет у доски), а потом работает за компьютером, выполняя самостоятельную работу. Вторая подгруппа со средними способностями работает самостоятельно. В дидактической игре “Интеграл” необходимо расшифровать высказывание: “Чистая совесть – самая мягкая подушка”. Домашнее задание дается творческое – подобрать 5 оригинальных примеров на нахождение площадей плоских фигур с чертежами.

Вариант №1.

Инструкция

2. Построение графиков:

а) Графики – Добавить график … – в поле Формула введите формулу функции – выберите толщину линии – ОК.
.

Правка – Добавить метку…

Вид – Списки графиков .

Задание

а) _______________
б) _______________

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций:

а) ________________________
________________________
________________________

б)________________________
________________________
________________________

Самостоятельная работа “Вычисление площади плоских фигур с помощью определенного интеграла”

Учени____11 класса, группы ____________________________

Вариант 2

Инструкция

1. Откройте графопостроитель Advanced Grapher с рабочего стола.

2. Построение графиков:

а) Графики – Добавить график…
б) Для обозначения степени используйте знак ^ (например, )
в) Для набора тригонометрических функций используйте схему: Графики – Набор свойств – Тригонометрический набор . Далее по обычной схеме, но необходимо увеличить масштаб.

3. Подписать название функции: Правка – Добавить метку…

4. Отключить отображение всех графиков на панели: Вид – Списки графиков

Задание

1. Пользуясь прилагаемой инструкцией, постройте графики функций:

2. Найдите точки пересечения этих графиков

а) ______________________________
б) ______________________________

3. Определите промежуток интегрирования

а) _______________
б) _______________

а) ________________________
________________________
________________________

б) ________________________
________________________
________________________

Самостоятельная работа “Вычисление площади плоских фигур с помощью определенного интеграла”

Учени____11 класса, группы ____________________________

Вариант 3.

Инструкция

1. Откройте графопостроитель Advanced Grapher с рабочего стола.

2. Построение графиков:

а) Графики – Добавить график… – в поле Формула введите формулу функции – выберите толщину линии – ОК.
б) Для обозначения степени используйте знак ^ (например, )
в) Для набора тригонометрических функций используйте схему: Графики – Набор свойств – Тригонометрический набор. Далее по обычной схеме, но необходимо увеличить масштаб.

3. Подписать название функции: Правка – Добавить метку…

4. Отключить отображение всех графиков на панели: Вид – Списки графиков

Задание

1. Пользуясь прилагаемой инструкцией, постройте графики функций:

а)

2. Найдите точки пересечения этих графиков

а) ______________________________
б) ______________________________

3. Определите промежуток интегрирования

а) __________________
б) __________________

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций.

а) ________________________
________________________
________________________

б) ________________________
________________________
________________________

На данную тему отводится три урока, данный урок –второй.

Цели урока:

Закрепление и углубление знаний об определённом интеграле и его приложении к нахождению площади фигур;

Формирование умений по применению знаний и способов действий в изменённых и новых учебных ситуациях; - развитие информационной и коммуникативной культуры учащихся;

Воспитание познавательной активности, умения работать в коллективе, упорства и достижения цели.

Задачи урока:

Повторить таблицу и правила нахождения первообразных, понятие криволинейной трапеции, алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции; - применить имеющиеся знания и умения для нахождения площадей плоских фигур.

Формы организации работы обучающихся: работа в группах.

Используемое оборудование и программы: интерактивная доска Smart Board, «Живая математика».

Используемые функции программного обеспечения интерактивной доски:

Функция – шторка:

Функция – клонирования объекта:

Функция – перетаскивания объекта;

Функция – умное перо.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок по теме: «Вычисление площадей фигур с помощью интегралов»

В 11 классе.

Ход урока:

1. Организационный момент ((проверяется готовность к уроку, объявляется тема и цель урока, записывается число).

Урок проходит под девизом: Скажи мне, и я забуду, Покажи мне, и я запомню, Дай мне действовать самому, И я научусь.

Конфуций.

1. Этап актуализации полученных ранее знаний (цель данного этапа: повторить таблицу и правила нахождения первообразных, понятие криволинейной трапеции, алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции).

Учитель: На предыдущих уроках мы познакомились с понятием первообразной, с таблицей и правилами их нахождения.

Вопрос 1 : Что называется первообразной для функции у = f (х) на некотором интервале? Вопрос 2 : Как задать все первообразные функции у = f (х), если F(х) – одна из них? Вопрос 3: Перечислите правила нахождения первообразных. После ответа учащихся открывается 2 слайд, отодвигается шторка, за которой скрыты вопросы для учащихся. Задание 1 : Найти одну из первообразных для указанных функций. (учащиеся функцией –перетягивания ставят в соответствие функцию и первообразную). Задание 2 : Для указанной функции найти одну из первообразных, график которой проходит через данную точку. (Обучающиеся на местах самостоятельно решают, один из обучающихся проверяет ответ, отодвигая экран).

А) Функции: 2х 5 – 3х 2 ; 3 cos x – 4 sin x; 3е х + 5 х – 2; е 2х – cos3х; 1/х + 1/ sin 2 х – х.

Первообразные: ln |x| - ctg x – x 2 /2; 1/2е 2х – 1/3 sin 3x; х 6 /3 – х 3 ; 3 sin x + 4 cos x; 3е х + 5 х /ln5.

Б) Для функции f (х) = 2х + 3 найти первообразную, график которой проходит через точку М (1;2).

Вопрос 4: Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Задание 3: Записать недостающее условие в определении, записанном на слайде. Задание 4: Записать формулу Ньютона Лейбница.

Задание 5: Вычислить интеграл. (Обучающиеся вычисляют самостоятельно, с последующей проверкой). А) х 2 – 2х) dx; б)

Задание 6: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 0, х = е, у = 1/х. (Учащиеся самостоятельно выполняют задание с последующей проверкой, открывая экраны на доске).

1. Этап формирования и отработки умений и навыков при решении различных заданий по теме « Вычисление площадей фигур с помощью интегралов »

1.Обучающиеся вспоминают свойства площадей

и приводят пример фигуры, площадь которой можно вычислить по формуле S = Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 0, у = х 2 – 4. (Один ученик с помощью функции – умное перо пишет решение на интерактивной доске).

2. Учащиеся обсуждают план вычисления площади фигуры, ограниченной линиями у = х 2 – 6х +11 и у = х +1. Каждый этап сопровождается открытием шторки.

1. Работа в группах . Класс заранее поделён на группы. Три ученика работают у доски, а остальные учащиеся по трём вариантам (группы разбиты по вариантам) на местах: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 1 вариант - у = (х – 3) 2 , у = 0, х = 1, х = 4. 2 вариант – у = х – 2, у = х 2 - 4х +2. 3 вариант – у = х, у = 5 – х, х =1, х = 2. Проверка после открытия экранов.
2. Работа в группах . Для каждого из следующих 8 слайдов нужно вычислить площадь фигуры. У учащихся в группах есть набор данных рисунков. Учащиеся выбирают формулу, по которой можно найти площадь. Открывается слайд, справа от чертежа есть формулы, на которые наложена функция клонирования. После обсуждения в группах, выходят по одному учащемуся от группы и передвигают выбранную формулу или пишут свою, если такой нет на доске. Дальше следует обсуждение: - Почему выбрана эта формула? - Есть ли ещё способы нахождения площади данной фигуры? - Какая из формул наиболее удобна в применении

Домашнее задание.

Итог урока. Учащиеся отвечают на вопросы: - Что было сделано на уроке? - Что нового они узнали на уроке? - Как им работалось в данной группе?