Основная теорема теории галуа. Теория групп и её влияние на различные области математики

Я вдруг осознал, что не помню теорию Галуа, и решил посмотреть, докуда я смогу добраться, не пользуясь бумагой и не зная ничего, кроме базовых понятий - поле, линейное пространство, многочлены одной переменной, схема Горнера, алгоритм Евклида, автоморфизм, группа подстановок. Ну, и плюс здравый смысл. Оказалось - довольно далеко, поэтому расскажу подробно.

Возьмем какое-нибудь поле К и неприводимый над ним многочлен А(х) степени р. Мы хотим расширить К так, чтобы А оказался разложим на линейные множители. Ну, начнем. Добавляем новый элемент а, про который мы знаем только то, что А(а)=0. Очевидно, придется добавить все степени а до (р-1)й, и все их линейные комбинации. Получится векторное пространство над К размерности р, в котором определены сложение и умножение. Но - ура! - деление тоже определено: любой многочлен В(х) степени, меньшей р, взаимно прост с А(х), и алгоритм Евклида дает нам В(х)С(х)+А(х)М(х)=1 для подходящих многочленов С и М. И тогда В(а)С(а)=1 - мы нашли обратный элемент для В(а). Итак, поле К(а) определено однозначно с точностью до изоморфизма, и у каждого его элемента есть однозначно определенное "каноническое выражение" через а и элементы К. Разложим А(х) над новым полем К(а). Один линейный множитель мы знаем, это (х-а). Поделим на него, результат разложим на неприводимые множители. Если они все линейны, мы победили, иначе берем какой-то нелинейный, и аналогично добавляем один его корень. И так далее до победы (считая по дороге размерность над К: на каждом шаге она на что-нибудь умножается). Назовем окончательный результат К(А).
Теперь ничего не требуется, кроме здравого смысла и понимания, что такое изоморфизм, чтобы понять: мы доказали Теорему.
Теорема. Для любого поля К и любого неприводимого над ним многочлена А(х) степени р существует единственное с точностью до изоморфизма расширение К(А) поля К с такими свойствами:
1. А(х) разлагатся над К(А) на линейные множители
2. К(А) порождается К и всеми корнями А(х)
3. Если Т - любое поле, содержащее К, над которым А(х) разлагается на линейные множители, то К и корни А(х) в Т порождают поле, изоморфное К(А) и инвариантное под действием любого автоморфизма Т, тождественного на К.
4. Группа автоморфизмов К(А), тождественных на К, действует перестановками на множестве корней А(х). Это действие точно и транзитивно. Ее порядок равен размерности К(А) над К.

Заметим, кстати, что если на каждом шаге процесса после деления на (х-а) оставался вновь неприводимый многочлен, то размерность расширения равна р!, и группа - полная симметрическая степени р. (На самом деле, очевидно, "если и только если".)
Например, так происходит, если А - многочлен общего вида. Что это такое? Это когда его коэффициенты а_0,а_1,...,а_р=1 алгебраически независимы над К. Ведь если мы поделим А(х) на х-а по схеме Горнера (это можно и в уме сделать, для того она и придумана такая простая), то увидим, что коэффициенты частного алгебраически независимы уже над К(а). Значит, по индукции все в кайф.

Думаю, после такого элементарного введения разобраться по любой книжке со всеми остальными деталями будет гораздо проще.

Однако и это было еще не все. Самое замечательное в теории алгебраического уравнения еще оставалось впереди. Дело в том, что есть сколько угодно частных видов уравнений всех степеней, которые решаются в радикалах, и как раз уравнений, важных во многих приложениях. Таковыми являются, например, двучленные уравнения

Абель нашел другой очень широкий класс таких уравнений, так называемые циклические уравнения и еще более общие «абелевы» уравнения. Гаусс по поводу задачи построения циркулем и линейкой правильных многоугольников подробно рассмотрел так называемое уравнение деления круга, т. е. уравнение вида

где - простое число, и показал, что оно всегда может быть сведено к решению цепи уравнений низших степеней, причем нашел условия, необходимые и достаточные для того, чтобы такое уравнение решалось в квадратных радикалах. (Необходимость этих условий была строго обоснована только Галуа.)

Итак, после работ Абеля положение было следующее: хотя, как это показал Абель, общее уравнение, степень которого выше четвертой, вообще говоря, не решается в радикалах, однако есть сколько угодно различных частных уравнений любых степеней, которые все же решаются в радикалах. Весь вопрос о решении уравнений в радикалах был поставлен этими открытиями на совсем новую почву. Стало ясно, что надо искать, каковы все те уравнения, которые решаются в радикалах, или, иначе говоря, каково условие, необходимое и достаточное для того, чтобы уравнение решалось в радикалах. Этот вопрос, ответ на который давал в некотором смысле окончательное выяснение всей задачи, решил гениальный французский математик Эварист Галуа.

Галуа (1811-1832) погиб в возрасте 20 лет на дуэли и в последние два года своей жизни не мог посвящать много времени занятиям математикой, так как был увлечен бурным вихрем политической жизни времен революции 1830 г., сидел в тюрьме за свои выступления против реакционного режима Людовика-Филиппа и т. п. Тем не менее за свою короткую жизнь Галуа сделал в разных частях математики открытия, далеко опередившие его время, и, в частности, дал самые замечательные из имеющихся результатов в теории алгебраических уравнений. В небольшой работе «Мемуар об условиях разрешимости уравнений в радикалах», оставшейся в его рукописях после его смерти и впервые обнародованной Лиувиллем лишь в 1846 г., Галуа, исходя из самых простых, но глубоких соображений, наконец, распутал весь клубок трудностей, сосредоточенных вокруг теории решения уравнений в радикалах, - трудностей, над которыми безуспешно бились до того величайшие математики. Успех Галуа был основав на том, что он первый применил в теории уравнений ряд чрезвычайно важных новых общих понятий, впоследствии сыгравших большую роль во всей математике в целом.

Рассмотрим теорию Галуа для частного случая, а именно того, когда коэффициенты заданного уравнения степени

Рациональные числа. Случай этот особенно интересен и содержит

в себе по существу уже все трудности общей теории Галуа. Мы будем, кроме того, предполагать, что все корни рассматриваемого уравнения различны.

Галуа начинает с того, что, подобно Лагранжу, рассматривает некоторое выражение 1-й степени относительно

но он не требует, чтобы коэффициенты этого выражения были корнями из единицы, а берет за некоторые целые рациональные числа, такие, чтобы были численно различны все значений которые получаются, если в V переставить корни всеми возможными способами. Это всегда можно сделать. Далее, Галуа составляет то уравнение степени, корнями которого являются Нетрудно показать при помощи теоремы о симметрических многочленах, что коэффициенты этого уравнения степени будут рациональными числами.

До сих пор все довольно похоже на то, что делал Лагранж.

Далее Галуа вводит первое важное новое понятие - понятие неприводимости многочлена в данном поле чисел. Если задан некоторый многочлен от коэффициенты которого, например, рациональны, то многочлен называется приводимым в поле рациональных чисел, если он может быть представлен в виде произведения многочленов более низких степеней с рациональными коэффициентами. Если нет, то многочлен называется неприводимым в поле рациональных чисел. Многочлен приводим в поле рациональных чисел, так как он равен а, например, многочлен как это можно показать, неприводим в поле рациональных чисел.

Существуют способы, правда, требующие длинных вычислений, для того чтобы разложить любой заданный многочлен с рациональными коэффициентами на неприводимые множители в поле рациональных чисел;

Галуа предлагает разложить полученный им многочлен на неприводимые множители в поле рациональных чисел.

Пусть - один из таких неприводимых множителей (какой из них, для дальнейшего все равно) и пусть он степени.

Многочлен будет тогда произведением из множителей 1-й степени на которые разлагается многочлен степени Пусть этими множителями являются - Перенумеруем как-либо числами (номерами) корни заданного уравнения степени. Тогда входят все возможные перестановок нумеров корней, а в - только из них. Совокупность этих перестановок номеров называется группой Галуа заданного уравнения

Далее Галуа вводит еще некоторые новые понятия и проводит хотя и простые, но поистине замечательные рассуждения, из которых получается, что условие, необходимое и достаточное для того, чтобы уравнение (6) решалось в радикалах, заключается в том, чтобы группа перестановок номеров удовлетворяла некоторому определенному условию.

Таким образом, предвидение Лагранжа, что в основе всего вопроса лежит теория перестановок, оказалось правильным.

В частности, теорема Абеля о неразрешимости общего уравнения 5-й степени в радикалах может быть теперь доказана так. Можно показать, что существует сколько угодно уравнений 5-й степени, даже с целыми рациональными коэффициентами, таких, для которых соответственный многочлен 120-й степени неприводим, т. е. таких, группа Галуа которых есть группа всех перестановок номеров 1, 2, 3, 4, 5 их корней. Но группа эта, как это можно доказать, не удовлетворяет критерию (признаку) Галуа, и поэтому такие уравнения 5-й степени не решаются в радикалах.

Так, например, можно показать, что уравнение где а - положительное целое число, большей частью не решается в радикалах. Например, оно не решается в радикалах при

ГАЛУА ТЕОРИЯ

подгрупп группы , где . Последовательность (2) является нормальным рядом (т. е. каждая группа - нормальный делитель группы при ) тогда и только тогда, когда в последовательности (1) каждое поле есть Галуа поля , и в этом случае .

К задаче решения алгебраич. уравнений эти результаты применяются следующим образом. Пусть f- без кратных корней над полем k, а К - его поле разложения (оно будет расширением Галуа поля k). Группа Галуа этого расширения наз. группой Галуа уравнения f=0. Решение уравнения f=0 тогда и только тогда сводится к решению цепи уравнений когда Ксодержится в поле , являющемся последним членом возрастающей последовательности полей

где - поле разложения над полем , многочлена . Последнее условие равносильно тому, что группа является факторгруппой группы , обладающей нормальным рядом, факторы к-рого изоморфны группам Галуа уравнений .

Пусть поле kсодержит все корни из единицы степени п. Тогда для любого полем разложения многочлена служит поле , где - одно из значений радикала Группа является в этом случае циклич. группой порядка n, и обратно, если группа является циклич. группой порядка и, то , где - корень нек-рого.двучленного уравнения Таким образом, если поле kсодержит корни из единицы всех необходимых степеней, то уравнение f=0 решается в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима (т. е. обладает нормальным рядом с циклич. факторами ). Найденное условие разрешимости в радикалах справедливо и в случае, когда поле kне содержит всех нужных корней из единицы, поскольку группа Галуа расширения , получающегося присоединением этих корней, всегда разрешима.

Для практического применения условия разрешимости весьма важно, что группу Галуа уравнения можно вычислить, не решая этого уравнения. Идея вычисления следующая. Каждый поля разложения многочлена f индуцирует нек-рую перестановку его корней, причем этой перестановкой он вполне определяется. Поэтому группу Галуа уравнения в принципе можно трактовать как нек-рую подгруппу группы подстановок его корней (а именно, подгруппу, состоящую из подстановок, сохраняющих все алгебраич. зависимости между корнями). Зависимости между корнями многочлена дают нек-рые соотношения между его коэффициентами (в силу формул Виета); анализируя эти соотношения можно определить зависимости между корнями многочлена и тем самым вычислить группу Галуа уравнения. В общем случае группа Галуа алгебраич. уравнения может состоять из всех перестановок корней, т. е. являться симметрической группой n- йстепени. Поскольку при симметрическая группа неразрешима, то уравнение степени 5 и выше, вообще говоря, в радикалах не решается (теорема Абеля).

Соображения Г. т. позволяют, в частности, описать полностью задач на построение, разрешимых с помощью циркуля и линейки. Методами аналитической геометрии показывается, что любая такая задача на построение сводится к нек-рому алгебраич. уравнению над полем рациональных чисел, причем она разрешима с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда соответствующее уравнение решается в квадратных радикалах. А для этого необходимо и достаточно, чтобы группа Галуа уравнения обладала нормальным рядом, факторы к-рого являются группами 2-го порядка, что имеет место тогда и только тогда, когда ее является степенью двух. Итак, задача на построение, разрешимая с помощью циркуля и линейки, сводится к решению уравнения, поле разложения к-рого имеет над полем рациональных чисел степень вида 2 s ;если степень уравнения не имеет вида 2 s , то такое построение невозможно. Так обстоит дело с задачей об удвоении куба (сводящейся к кубическому уравнению ) и с задачей о трисекции угла (также сводящейся к кубическому уравнению). Задача о построении правильного р-угольника сводится при простом рк уравнению обладающему тем свойством, что его поле разложения порождается любым из корней и поэтому имеет степень р -1, равную степени уравнения. В этом случае построение с помощью циркуля и линейки возможно, только если (напр., при р = 5 и р = 17 оно возможно, а при р = 7 и при р = 13 нет).

Идеи Галуа оказали решающее влияние на развитие алгебры в течении почти целого столетия. Г. т. развивалась и обобщалась во многих направлениях. В. Галуа теории обратная задача). Тем не менее в класснч. Г. т. осталось еще много нерешенных задач. Напр., неизвестно, для любой ли группы G существует уравнение над полем рациональных чисел с этой группой Галуа.

Лит. : Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М.-Л., 1936; Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, ч. 1 - 2, М.-Л., 1934-37; его же, Теория Галуа, М.- Л., 1936; Постников М. М., Основы теории Галуа, М., 1960; его же, Теория Галуа, М., 1963;

Вообще, основная проблема, рассмотренная Галуа,-- это проблема разрешимости в радикалах общих алгебраических уравнений, причем не только в случае уравнений 5-й степени, рассмотренном Абелем. Главной целью Галуа всех исследований Галуа в этой области было найти критерий разрешимости для всех алгебраических уравнений.

В связи с этим, рассмотрим более подробно содержание основной работы Галуа «Мемуар об условиях разрешимости уравнений в радикалах» (Memoiresur les conditions de resolubilite des equations par radicaux.-- J. math, pures et appl., 1846).

Рассмотрим вслед за Галуа уравнение: см [Рыбников]

Для него определим область рациональности -- совокупность рациональных функций от коэффициентов уравнения:

Область рациональности R является полем, т. е. совокупностью элементов, замкнутой по отношению к четырем действиям. Если -- рациональны, то R -- поле рациональных чисел; если же коэффициенты -- произвольные величины, то R есть поле элементов вида:

Здесь числитель и знаменатель -- многочлены. Область рациональности можно расширить, присоединяя к ней элементы, например корни уравнения. Если к этой области присоединить все корни уравнения, то вопрос о разрешимости уравнения делается тривиальным. Задача разрешимости уравнения в радикалах может ставиться только по отношению к определенной области рациональности. Он указывает, что можно изменять область рациональности, присоединяя как известные новые количества.

При этом Галуа пишет: «Мы увидим, сверх того, что свойства и трудности уравнения могут быть сделаны совершенно разными сообразно количествам, которые к нему присоединены».

Галуа доказал, что для всякого уравнения,можно в той же области рациональности найти некоторое уравнение, называемое нормальным. Корни данного уравнения и соответствующего нормального уравнения выражаются друг через друга рационально.

После доказательства этого утверждения следует любопытное замечание Галуа: «Замечательно, что из этого предложения можно заключить, что всякое уравнение зависит от такого вспомогательного уравнения, что все корни этого нового уравнения являются рациональными функциями друг друга»

Анализ замечания Галуа дает нам следующее определение для нормального уравнения:

Нормальное уравнение -- это уравнение, обладающее тем свойством, что все его корни рационально выражаются через один из них и элементы поля коэффициентов.

Примером нормального уравнения будет уравнение: Его корни

Нормальным также будет являться, например, квадратное уравнение.

Стоит,однако, отметить, что Галуа не останавливается на специальном изучении нормальных уравнений, он отмечает только, что такое уравнение «легче решить, чем какое-нибудь другое». Галуа переходит к рассмотрению подстановок корней.

Он говорит что, все подстановки корней нормального уравнения образуют группу G. Это и есть группа Галуа уравнения Q, или, что то же самое, уравнения Она обладает, как выяснил Галуа, замечательным свойством: любое рациональное соотношение между корнями и элементами поля R инвариантно относительно подстановок группы G. Таким образом, Галуа связал с каждым уравнением группу подстановок его корней. Он же ввел (1830) термин «группа» -- адекватное современному, хотя и не столь формализованное определение.

Структура группы Галуа оказалась связанной с задачей разрешимости уравнений в радикалах. Чтобы разрешимость имела место, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая группа Галуа была разрешима. Это значит, что в данной группе существует цепочка нормальных делителей с простыми индексами.

Напомним, кстати, что нормальные делители, или, что то же самое, инвариантные подгруппы -- это такие подгруппы группы G, для которых справедливо

где g -- элемент группы G.

Общие алгебраические уравнения при, вообще говоря, такой цепочки не имеют, так как группы подстановок имеют только один нормальный делитель индекса 2 -- подгруппу всех четных подстановок. Поэтому эти уравнения в радикалах, вообще говоря, неразрешимы.(И мы видим связь результата Галуа и результата Абеля.)

Галуа сформулировал следующую фундаментальную теорему:

Для любого наперед заданного уравнения и любой области рациональности существует группа перестановок корней этого уравнения, обладающая тем свойством, что любая рациональная функция -- т.е. функция, построенная с помощью рациональных операций из этих корней и элементов области рациональности, -- которая при перестановках этой группы сохраняет свои числовые значения, имеет рациональные (принадлежащие области рациональности) значения, и обратно: всякая функция принимающая рациональные значения, при перестановках данной группы сохраняет эти значения.

Рассмотрим теперь частный пример, которым занимался еще сам Галуа. Речь идет о том, чтобы найти условия, при которых неприводимое уравнение степени, где простое, разрешимо при помощи двучленных уравнений. Галуа обнаруживает, что условия эти заключаются в возможности так упорядочить корни уравнения, чтобы упомянутая "группа" перестановок задавалась формулами

где может быть равно любому из чисел, а b равняется. Такая группа содержит самое большее p(p -- 1) перестановок. В случае когда??=1 имеется лишь p перестановок, говорят о циклической группе; в общем случае группы называются метациклическими. Таким образом, необходимым и достаточным условием разрешимости неприводимого уравнения простой степени в радикалах является требование, чтобы его группа была метациклической -- в частном случае, циклической группой.

Теперь уже можно обозначить пределы, поставленные сфере действия теории Галуа. Она дает нам некий общий критерий разрешимости уравнений с использованием резольвент, а также указывает путь к их разысканию. Но тут сразу же встает целый ряд дальнейших проблем: найти все уравнения имеющие при данной области рациональности определенную, наперед заданную группу перестановок; исследовать вопрос о том, сводимы ли друг к другу два уравнения такого рода, и если да, то какими средствами и т.д. Все это вместе составляет огромную совокупность проблем, не решенных еще и сегодня. Теория Галуа указывает нам на них, не давая, однако, никаких средств для их решения.

Аппарат, введенный Галуа для установления разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, имел значение, выходящее за рамки указанной задачи. Его идея изучения структуры алгебраических полей и сопоставления с ними структуры групп конечного числа подстановок была плодотворной основой современной алгебры. Однако она не сразу получила признание.

Перед роковой дуэлью, оборвавшей его жизнь, Галуа в течение одной ночи сформулировал свои важнейшие открытия и переслал их другу О. Шевалье для публикации в случае трагического исхода. Приведем знаменитое место из письма к О. Шевалье: «Ты публично попросишь Якоби или Гаусса дать их заключение не о справедливости, но о важности этих теорем. После этого будут, я надеюсь, люди, которые найдут свою выгоду в расшифровке всей этой путаницы». При этом Галуа имеет в виду не только теорию уравнений, в этом же письме им сформулированы глубокие результаты из теории абелевых и модулярных функций.

Это письмо было опубликовано вскоре после смерти Галуа, однако идеи, содержащиеся в нем, не нашли отклика. Только через 14 лет, в 1846 г., Лиувилль разобрал и опубликовал все математические работы Галуа. В середине XIX в. в двухтомной монографии Серре, а также в работе Э. Бетти A852), впервые появились связные изложения теории Галуа. И только с 70-х годов прошлого века идеи Галуа начали получать дальнейшее развитие.

Понятие группы в теории Галуа становится мощным и гибким средством. Коши, например, тоже изучал подстановки, но он и не думал приписывать понятию группы подобную роль. Для Коши, даже в поздних его работах 1844--1846 гг. «система сопряженных подстановок» была неразложимым понятием, весьма жестким; он пользовался ее свойствами, но никогда не выявлял понятия подгруппы и нормальной подгруппы. Эта идея относительности, собственное изобретение Галуа, позднее проникла во все математические и физические теории, ведущие свое происхождение от теории групп. Эту идею в действии мы видим, например, в «Эрлангенской программе».(о ней будет рассказано позднее)

Значение работ Галуа состоит в том, что в них в полной мере были раскрыты новые глубинные математические закономерности теории уравнений. После освоения открытий Галуа вид и цели самой алгебры существенно изменились, исчезла теория уравнений -- появилась теория полей, теория групп, теория Галуа. Ранняя смерть Галуа была невозместимой утратой для науки. На заполнение пробелов, понимание и улучшение работ Галуа понадобилось еще несколько десятков лет. Усилиями Кэли, Серре, Жордана и других открытия Галуа были превращены в теорию Галуа. В 1870 г. монографии Жордана «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» представило эту теорию в систематическом изложении, понятном для всех. С этого момента теория Галуа стала элементом математического образования и фундаментом для новых математических исследований.