Уравнения вида f(y,y’)=0 и f(x,y’)=0

Если уравнения f(y,y')=0 и f(x,y')=0 легко разрешимы относительно y', то, разрешая их, получим уравнения с разделяющимися переменными.

Рассмотрим тогда случаи, когда эти уравнения не разрешимы относительно y'.

А. Уравнение вида f(y,y')=0 разрешимо относительно y:

 y= \varphi (y').

Полагаем y'=p, тогда y= \varphi (p). Дифференцируя это уравнение и заменяя dy на p dx, получим  p dx = {\varphi}^{'} (p) dp,

откуда  dx = \frac{{\varphi}^{'} (p)}{p} dp   и   x= \int \frac{{\varphi}^{'} (p)}{p} dp +C.

Получаем общее решение уравнения в параметрической форме

x= \int \frac{{\varphi}^{'} (p)}{p} dp +C,     y= \varphi (p).       (1)

Пример 1. Решить уравнение

y= a {\left ( \frac{dy}{dx} \right )}^2 + b {\left ( \frac{dy}{dx} \right )}^3     (a, b  —  постоянные)

Решение:  Положим \frac{dy}{dx} = p, тогда y=ap^2+bp^3,  dy=2apdp+3bp^2dp  или  pdx = 2ap dp +3b p^2 dp.

Отсюда dx=2adp+3bpdp   и   x=2ap+ \frac{3}{2}bp^2+C.

Общим решением будет x=2ap+ \frac{3}{2}bp^2+C,   y=ap^2+bp^3.

Ответ:  x=2ap+ \frac{3}{2}bp^2+C,   y=ap^2+bp^3.

Б. Если уравнение вида f(y,y')=0 неразрешимо (или трудно разрешимо) как относительно y, так и относительно y', но допускает выражение y и y' через некоторый параметр t:

y= \varphi (t),     p= \psi t     \left ( p= \frac{dy}{dx} \right ),

то поступаем следующим образом. Имеем dy=pdx= \psi (t)dx.

С другой стороны, dy= {\varphi}^{'} dt, так что \psi (t)dx= {\varphi}^{'} dt  и  dx= \frac{{\varphi}^{'} (t)}{\psi (t)} dt; отсюда  x= \int \frac{{\varphi}^{'} (t)}{\psi (t)} dt.

 Таким образом, получаем общее решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме

x= \int \frac{{\varphi}^{'} (t)}{\psi (t)} dt +C,     y= \varphi (t).

Пример 2. Решить уравнение

y^{\frac{2}{3}} + (y')^{\frac{2}{3}} =1

Решение:  Полагаем y= \cos^3 t,  p= \sin^3 t,

 dx = \frac{dy}{p} = \frac{-3 \cos^2 t \sin t dt}{\sin^3 t} = -3 \frac{cos^2 t}{\sin^2 t} dt.

Отсюда x= \int \left ( 3- \frac{3}{\sin^2 t} \right ) dt = 3t+ 3 \operatorname {ctg} t +C;   общее решение x=3t+ 3 \operatorname {ctg} t +C,   y= \cos^3 t.

Ответ:   x=3t+ 3 \operatorname {ctg} t +C,   y= \cos^3 t.

В. Уравнение вида f(x,y')=0. Пусть это уравнение разрешимо относительно x:   x= \varphi (y').

Полагая y' \equiv p, получим dx= {\varphi}^{'} (p) dp.  Но dx = \frac{dy}{p} и, следовательно,  \frac{dy}{p} = {\varphi}^{'} (p) dp, так что

dy=p {\varphi}^{'} (p) dp     и     y= \int {\varphi}^{'} (p) dp +C.

Таким образом

x= \varphi (p),   y= \int {\varphi}^{'} (p) dp +C      (2)

—  общее решение уравнения в параметрической форме (p — параметр).

Замечание: В формулах (1) и (2) нельзя рассматривать p как производную. В них p является просто параметром.

Пример 3. Решить уравнение

a \frac{dy}{dx} +b {\left ( \frac{dy}{dx} \right )}^2 = x

Решение:  Положим \frac{dy}{dx} = p, тогда  x=ap+bp^2,  dx=adp+2bpdp,

dy=pdx=apdp+2bp^2 dp,     y=\frac{a}{2} p^2 + \frac{2}{3} bp^3 +C.

Итак,  x=ap+bp^2,  y=\frac{a}{2} p^2 + \frac{2}{3} bp^3 +C — общее решение.

Ответ:   x=ap+bp^2,  y=\frac{a}{2} p^2 + \frac{2}{3} bp^3 +C.

Аналогично случаю Б можно попытаться решать уравнение f(x,y')=0 методом введения параметра t.

Добавить комментарий