Уравнения первого порядка n-й степени относительно y’

Пусть имеем дифференциальное уравнение

(y')^n+p_1 (x,y)(y')^{n-1}+ \cdots + p_{n-1} (x,y)y' + p_n (x,y) = 0     (*)

Решаем это уравнение относительно y'. Пусть

y'=f_1 (x,y),     y'=f_2 (x,y),     \cdots,     y'=f_k(x,y)     k \leqslant n    — вещественные решения уравнения (*).

Общий интеграл уравнения (*) выразится совокупностью интегралов:

F_1 (x, y, C)=0,     F_2 (x, y, C)=0,     \cdots,     F_k (x, y, C)=0,

где F_i (x, y, C)=0 есть интеграл уравнения y' = f_i (x,y)   i=1, 2, \cdots , k.

Таким образом, через каждую точку области, в которой y' принимает вещественные значения, проходит k интегральных линий.

Пример 1. Решить уравнение

 y(y')^2 + (x-y)y' - x =0

Решение:   Разрешим это уравнение относительно y'. Тогда перед нами квадратное уравнение, корни которого найдутся следующим образом:

 y' = \frac{y-x \pm \sqrt{(x-y)^2 + 4xy}}{2y};     y' = 1,     y' = - \frac{x}{y},

откуда, интегрируя два последних равенства, имеем  y=x+C,    y^2+x^2=C^2.

Ответ:    y=x+C,    y^2+x^2=C^2.

Добавить комментарий