Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение

a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)} + \cdots + a_ny=0,

где a_0,a_1, \cdots , a_n — вещественные постоянные, a_0 \ne 0.

Для нахождения общего решения данного уравнения поступаем так.

Составляем характеристическое уравнение:

a_0{\lambda}^{(n)}+a_1{\lambda}^{(n-1)} + \cdots + a_n=0.

Пусть {\lambda}_1, {\lambda}_2 , \cdots , {\lambda}_n корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные.

Возможны следующие случаи:

 а) {\lambda}_1, {\lambda}_2 , \cdots , {\lambda}_n — вещественные и различные.

Тогда общим решением однородного уравнения будет

y_{o.o} =C_1e^{{\lambda}_1 x} +C_2e^{{\lambda}_2 x} + \cdots + C_ne^{{\lambda}_n x};

б) корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные. Пусть, например, {\lambda}_1={\lambda}_2= \cdots = {\lambda}_k = \tilde{{\lambda}}, то есть \tilde{{\lambda}} является k-кратным корнем, а все остальные n-k корней различные. Общее решение в этом случае имеет вид

y_{o.o}=C_1e^{\tilde{{\lambda}}x} + C_2 x e^{\tilde{{\lambda}}x} +C_3 x^2 e^{\tilde{{\lambda}}x} + \cdots + C_k x^{k-1} e^{\tilde{{\lambda}}} +

+C_{k+1} e^{{\lambda}_{k+1}x} + \cdots + C_n e^{{\lambda}_n x};

в) среди корней характеристического уравнения есть комплексные.

 Пусть для определенности {\lambda}_1=\alpha +i \beta, {\lambda}_2 = \alpha - i \beta, а остальные корни вещественные (комплексные корни являются попарно сопряженными). Тогда общее решение имеет вид

y_{o.o}= C_1 e^{\alpha x} \cos{\beta x} +C_2 e^{\alpha x} \sin{\beta x} +C_3 e^{{\lambda}_3 x} + \cdots + C_n e^{{\lambda}_n x};

г) в случае, если {\lambda}_1 = \alpha + i \beta является k-кратным корнем, то  {\lambda}_2 = \alpha - i \beta также будет k-кратным корнем, и общее решение будет иметь вид

y_{o.o} = C_1 e^{\alpha x} \cos{\beta x} +C_2 e^{\alpha x} \sin{\beta x} +C_3 xe^{\alpha x} \cos{\beta x} +

+C_4xe^{\alpha x} \sin{\beta x} + \cdots + C_{2k-1} x^{k-1} e^{\alpha x} \cos{\beta x} +

+C_{2k} x^{k-1} e^{\alpha x} \sin{\beta x} + C_{2k+1} e^{{\lambda}_{2k+1}x} + \cdots + C_n e^{{\lambda}_n x}.

 Пример 1. Найти общее решение уравнения y'''-2y''-3y'=0.

Решение:   Составляем характеристическое уравнение

{\lambda}^3-2{\lambda}^2-3{\lambda}=0.

Находим его корни: {\lambda}_1=0, {\lambda}_2=-1, {\lambda}_3=3. Так как они действительные и различные, то общее решение имеет вид

y_{o.o}=C_1+C_2 e^{-x} +C_3 e^{3x}.

Ответ:   y_{o.o}=C_1+C_2 e^{-x} +C_3 e^{3x}.

Пример 2. Найти общее решение уравнения y'''+2y''+y'=0.

Решение:   Характеристическое уравнение имеет вид

{\lambda}^3+2{\lambda}^2+{\lambda}=0.

Отсюда {\lambda}_1={\lambda}_2=-1, {\lambda}_3=0. Корни действительные, причем один из них, а именно {\lambda}=-1, имеет кратность 2, поэтому общее решение имеет вид

y_{o.o}= C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} + C_3.

Ответ:   y_{o.o}= C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} + C_3.

Пример 3. Найти общее решение уравнения y'''+4y''+13y'=0.

Решение:   Характеристическое уравнение

{\lambda}^3+4{\lambda}^2+13{\lambda}=0

имеет кони {\lambda}_1=0, {\lambda}_2=-2-3i, {\lambda}_3=-2+3i. Общее решение

y_{o.o} = C_1+C_2 e^{-2x} \cos{3x} + C_3 e^{-2x} \sin{3x}.

Ответ:   y_{o.o} = C_1+C_2 e^{-2x} \cos{3x} + C_3 e^{-2x} \sin{3x}.

Пример 4. Найти общее решение уравнения y^{V}-2y^{IV}+2y'''-4y''+y'-2y=0.

Решение:   Характеристическое уравнение

{\lambda}^5-2{\lambda}^4+2{\lambda}^3-4{\lambda}^2+{\lambda}-2=0     или     ({\lambda}-2)({\lambda}^2+1)^2=0

имеет кони {\lambda}=2 — однократный и {\lambda} = \pm i — пара комплексно сопряженных корней кратности 2. Общее решение есть

y_{o.o} = C_1 e^{2x} + (C_2+C_3x) \cos{x} + (C_4+C_5x) \sin{x}.

Ответ:   y_{o.o} = C_1 e^{2x} + (C_2+C_3x) \cos{x} + (C_4+C_5x) \sin{x}.

Добавить комментарий