Уравнения Эйлера

Линейные уравнения вида

a_0x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+ \cdots + a_{n-1}xy'+a_ny=0,          (1)

где всё a_i постоянные, называются уравнениями Эйлера. Эти уравнения заменой независимого переменного x=e^t преобразуются в линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:

b_0 y_t^{(n)}+b_1y_t^{(n-1)} + \cdots + b_{n-1}y'_t+b_ny(t)=0.           (2)

 Замечание 1. Уравнения вида

a_0{(ax+b)}^ny^{(n)}+a_1{(ax+b)}^{n-1}y^{(n-1)}+ \cdots + a_{n-1}(ax+b)y'+a_ny=0

также называются уравнениями Эйлера и сводятся к линейным однородным уравнениям с постоянными коэффициентами заменой переменных ax+b=e^t.

Замечание 2. Частные решения уравнения (1) можно сразу искать в виде y=x^k, при этом для k мы получаем уравнение, которое совпадает с характеристическим уравнением для уравнения (2).

Пример 1. Найти общее решение уравнения Эйлера x^2y''+2xy'-6y=0.

Решение:  Делаем в уравнении подстановку x=e^t, тогда

y'= \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = e^{-t} \frac{dy}{dt},

y''= \frac{dy'}{dx} = \frac{dy'/dt}{dx/dt} = \frac{(d^2y/dt^2-dy/dt)e^{-t}}{e^t} = e^{-2t} \left ( \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right ),

и уравнение примет вид

\frac{d^2y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} -6y=0.

 Корни характеристического уравнения {\lambda}_1=-3, {\lambda}_2=2, и общее решение уравнения будет y=C_1e^{-3t}+C_2e^{2t}. Но так как x=e^t, то

y=C_1x^{-3}+C_2x^2       или       y= \frac{C_1}{x^3}+C_2x^2.

Ответ:    y= \frac{C_1}{x^3}+C_2x^2.

Решим данный пример другим способом.

Решение:  Будем искать решение данного уравнения в виде y=x^k, где k — неизвестное число. Находим y'=kx^{k-1}, y''=k(k-1)x^{k-2}. Подставляя в уравнение, получаем

x^2k(k-1)x^{k-2}+2xkx^{k-1}-6x^k=0       или       x^k[k(k-1)+2k-6]=0.

Но так как x^k \equiv 0, то k(k-1)+2k-6=0 или k^2+k-6=0. Корни этого уравнения k_1=-3 и k_2=2. Им соответствует фундаментальная система решений y_1=x^{-3}, y_2=x^2, и общее решение по-прежнему будет

y=C_1x^{-3}+C_2x^2.

Добавить комментарий