Производная параметрически заданной функции

В этой статье мы дадим определение параметрически заданной функции, покажем процесс нахождение ее производных и рассмотрим несколько примеров.

Определение. Пусть даны две функции переменной t:

\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases} ,

рассматриваемые при одних и тех же значениях t. Тогда любому из этих значений t соответствует некоторое определенное значение x и y, а значит, и определенная точка M(x;y). Когда переменная t пробегает все значения из области определения функций, точка M(x,y) описывает некоторую линию C в плоскости Oxy. Данные уравнения называются параметрическими уравнениями этой линии, а переменная tпараметром. В этом случае говорят, что функция задана параметрически.

То есть теперь у нас нет привычной зависимости y=f(x). Но как же тогда будет находиться производная? Разберемся с этим вопросом.

Для каждого параметрического уравнения найдем дифференциал его левой и правой части:

\begin{cases} dx=x'_t dt \\ dy=y'_t dt \end{cases}

Как известно, производная y по x есть  y'_x = \frac{dy}{dx}. Таким образом, разделив второе уравнение на первое, получим:

\boxed{\frac{dy}{dx} = y'_x = \frac{y'_t}{x'_t}}

С помощью данной формулы и находится первая производная функции, заданной параметрически.

Пример 1

Найти производную параметрически заданной функции  \begin{cases} x=t  \\ y=\sin{t} \end{cases}

Решение:   В соответствии с формулой, производная по x будет равна производной y по t, деленной на производную x по t.

    \[y'_x = \frac{(\sin{t})'_t}{(t)'_t} = \frac{\cos{t}}{1} = \cos{t}\]

Ответ:   y'_x = \cos{t}

[свернуть]

Пример 2

Найти производную параметрически заданной функции  \begin{cases} x=\ln{t}  \\ y=e^{3t} \end{cases}

Решение:

    \[y'_x = \frac{(e^{3t})'_t}{(\ln{t})'_t} =\frac{e^{3t} \cdot (3t)'_t}{\frac{1}{t}} = 3te^{3t}\]

Ответ:   y'_x = 3te^{3t}

[свернуть]




Пример 3

Найти производную параметрически заданной функции  \begin{cases} x= \operatorname{tg}(5t) \\ y= \cos^{-1}{(5t)} \end{cases}

Решение:

    \[y'_x = \frac{(\cos^{-1}{(5t)})'_t}{(\operatorname{tg}(5t))'_t} =\frac{-\cos^{-2}(5t) \cdot (\cos{(5t)})'_t \cdot (5t)'_t}{\frac{(5t)'_t}{\cos^{2}{(5t)}}} = \frac{5 \cos^{-2}(5t) \cdot \sin{(5t)}}{5 \cos^{-2}(5t)} = \sin{(5t)}\]

Ответ:   y'_x=\sin{(5t)}

[свернуть]

Если поставлена задача нахождения производной высшего порядка, будем преобразовывать уже полученную формулу первой производной следующим образом:

    \[y''_{xx} = (y'_x)'_x = \frac{dy'_x}{dx} = \frac{\frac{dy'_x}{dt}}{\frac{dx}{dy}} = \frac{(y'_x)'_t}{x'_t}\]

    \[y'''_{xxx} = (y''_{xx})'_x = \frac{dy''_{xx}}{dx} = \frac{\frac{dy''_{xx}}{dt}}{\frac{dx}{dy}} = \frac{(y''_{xx})'_t}{x'_t}\]

И так далее. То есть, как и в случае с производными функции y=f(x), для нахождения n-ой производной нужно сначала последовательно найти с первой по n-1 производные.

 

Пример 4

Найти вторую производную y''_{xx} параметрически заданной функции \begin{cases} x= t^2 \\ y= e^{2t} \end{cases}

Решение:   Находим сначала первую производную y'_x:

    \[y'_x = \frac{(e^{2t})'_t}{(t^2)'_t} = \frac{2e^{2t}}{2t} = \frac{e^{2t}}{t}\]

Записываем найденную производную в параметрическом виде:   \begin{cases} x= t^2 \\ y'_x = \frac{e^{2t}}{t} \end{cases}

Для этой новой функции применяем формулу еще раз:

    \[y''_{xx} = (y'_x)'_x = \frac{{\left ( \frac{e^{2t}}{t}  \right )}'_t}{(t^2)'_t} = \frac{\frac{2te^{2t} - e^{2t}}{t^2}}{2t} =\frac{2te^{2t} - e^{2t}}{2t^3} = e^{2t} \left (  \frac{1}{t^2} - \frac{1}{2t^3} \right )\]

Ответ:  y''_{xx} = e^{2t} \left (  \frac{1}{t^2} - \frac{1}{2t^3} \right )

[свернуть]

Пример 5

Найти третью производную y'''_{xx} параметрически заданной функции \begin{cases} x= \ln{t} \\ y= t^3 \end{cases}

Решение:   Находим сначала первую производную y'_x:

    \[y'_x = \frac{(t^3)'_t}{(\ln{t})'_t} = \frac{3t^2}{\frac{1}{t}} = 3t^3\]

Записываем найденную производную в параметрическом виде:   \begin{cases} x= \ln{t} \\ y'_x = 3t^3 \end{cases}

Для этой новой функции применяем формулу еще раз:

    \[y''_{xx} = (y'_x)'_x = \frac{{\left ( 3t^3  \right )}'_t}{(\ln{t})'_t} = \frac{9t^2}{\frac{1}{t}} = 9t^3\]

И вторую производную пишем в параметрической форме:   \begin{cases} x= \ln{t} \\ y''_{xx} = 9t^3 \end{cases}

Заключительный, третий раз применяем формулу:

    \[y'''_{xxx} = (y''_{xx})'_x = \frac{(9t^3)'_t}{(\ln{t})'_t} = \frac{27t^2}{\frac{1}{t}} = 27t^3\]

Ответ:  y'''_{xxx} = 27t^3

[свернуть]

На этом всё. Мы познакомились с производной функции, заданной параметрически, а также рассмотрели процесс нахождения производных высшего порядка. Спасибо за внимание и удачи в дальнейшем изучении высшей математики!




Добавить комментарий